Anfangswertproblem durch TdV lösen

Question

Aufgabe:

Lösung x(t) folgender Anfangswertprobleme durch Trennung der Variablen bestimmen.

c) \( x^{\prime}=\frac{t x \sin t}{x+1}, \quad x(0)=1 \)

Problem/Ansatz:

\( \frac{dx}{dy} \)  = \( \frac{t*x*sin(t)}{x+1} \)      | *(x+1)  | * dt

dx(x+1) = t*x*sin(t)*dt           | /x

\( \int\limits_{}^{} \)  \( \frac{x+1}{x} \)  = \( \int\limits_{}^{} \)  sin(t)*t dt

Nach der Integration (mit partielle Integration bei sinus) hatte ich dann:

ln(x) + x = sin(t) - t* cos(t) + C

und nach x umgestellt:

x(t) = sin(t) - t*cos(t) - ln(x) + C

Aber warum habe ich jetzt zwei mal was mit x? Also das ln(x), da stimmt doch was nicht? Oder wie geht man jetzt vor um auch das AWP zu lösen?

Würde mich über Hilfe sehr freuen

Liebe Grüße,

Mauerblümchen

Answer 1

Hallo,

Aber warum habe ich jetzt zwei mal was mit x?

Weil Du den Integranden aufteilst in 1 +1/x

Ich habe erhalten:

x +ln|x|= sin(t) -t cos(t) +c

Die AWB setzt Du ein: x(0)=1

1 +0=  0 -0 +c

c=1

------->

x +ln|x|= sin(t) -t cos(t) +1  → Lösung in impliziter Form

Comments

Danke, ich dachte die Form am ende darf nur ein x haben.