Wie sieht die Umschreibung hiervon aus?

Question

Aufgabe:

Ableitung von 2^x

Ableitung von 2^-x

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die beiden umformen? Ich benötige eine Erklärung dafür.

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du ausnutzen, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion ihre Wirkung gegenseitig aufheben. Hier hilft dir konkret \(a=e^{\ln a}\) für positive \(a\):

$$(2^x)'=\left(e^{\ln(2^x)}\right)'=\left(e^{x\ln(2)}\right)'=\underbrace{e^{x\ln(2)}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\ln(2)}_{=\text{innere}}=2^x\cdot\ln(2)$$$$(2^{-x})'=\left(e^{\ln(2^{-x})}\right)'=\left(e^{-x\ln(2)}\right)'=\underbrace{e^{-x\ln(2)}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(-\ln(2))}_{=\text{innere}}=-2^{-x}\cdot\ln(2)$$

Answer 2

Falls du das meinst. 1.Ableitung bilden
( 2^x ) ´ umformen
[ e hoch ln(2^x) ] ´
[ e hoch x * ln(2) ] ´
e hoch [ x * ln(2) ] * ln(2)
e hoch ln(2^x) * ln(2)
2^x * ln(2)