Potenzieren mit einem Bruch als Exponent

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Komplexe Zahl z= (\( \sqrt{3} \)-j\( \sqrt{2} \))^2/3

^{Hiervon sollen die Lösungen ermittelt werden.}

Problem/Ansatz:

ich würde hier normalerweise potenzieren. Jedoch ist die Potenz nicht ganzzahlig, und soweit ich weiß muss ja gelten n ∈ N. Wie mache ich das hier mit einem Bruch im Exponenten?

Danke

Answer 1

Hallo,

du kannst vereinfachen und damit wäre das Ergebnis dann $$\begin{aligned}\left(\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)^{2/3}&=\sqrt[3]{\left(\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)^{2}}\\&=\sqrt[3]{-2-i\sqrt{6}-i\sqrt{6}+3}\\&=\sqrt[3]{1-2i\sqrt{6}}\\\phantom{a=b}\\z_1&\approx \phantom{-}1,53-0,75i \\z_2&\approx -0,11+1,71i\\z_3&\approx -1,42-0,95i\end{aligned},$$ wobei die exakte Darstellung bevorzugt werden sollte.

Comments

Danke für den Ansatz. Habe nun radziert und folgende Ergebnisse bekommen.

Vorher habe ich den vereinfachten Radikanden ausmultipliziert und folgendes erhalten:

(\( \sqrt{3} \)-j\( \sqrt{2} \))²  

=1-j2\( \sqrt{6} \)

diese vereinfachte komplexe Zahl habe ich dann radiziert (3. Grad) und folgende Lösungen erhalten:

w₀=  -0,157 +j2,35

w₁= -1,95 -j1,31

w₂= 1,38 -j0,68

Ich glaube jedoch dass ich mich irgendwo verrechnet habe.

Rundungen erstmal außer Acht lassen, sind die Werte so grundlegend richtig?

DAnke

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Gerne, ich habe dir den weiteren Rechenweg hinzugefügt.

Du hast dich wahrscheinlich verrechnet, ich habe gerundet für die 3. Wurzeln:

$$\begin{aligned}&=&1,54-0,75i\\&=&-0,11+1,71i\\&=&-1,42-0,95i\end{aligned}$$

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Ist die Nebenrechnung mit dem quadrierten Radikanden falsch? Denn dort müsste dann der Fehler sein

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Ich habe auch \(1-2i\sqrt{6}\) beim Quadrieren raus, ist richtig. Vielleicht hast du zu grob gerundet?

Hier wird das noch Mal ganz gut erklärt:

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Hast du den Fehler gefunden? Lag es am Runden?

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Danke für die ausführliche Antwort! Habs eben nochmal mit genaueren Werten gemacht. Ich habe als Argument Phi 281,54 Grad. und ³\( \sqrt{\sqrt{13}} \) als Faktor mit dem ich cos und sin multipliziere. Vlt ist da was falsch. Trotzdem komme ich nicht auf deine Lösungen, nicht ganz zumindest.

Ich arbeite beim Radizieren mit der trigonometrischen Form.

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Entschuldigung, ich habe den Kommentar erst jetzt gesehen.

Kannst du deinen Rechenweg dazuschreiben? So sieht man nicht genau, wo der Fehler liegt. Es sollte \(\arg(z)=\varphi= -1/3\arctan{2\sqrt 6}\approx -26.15°\) sein. Außerdem ist \(\lvert \sqrt[3]{1-2i\sqrt{6}}\rvert = \sqrt[3]{5}\). Demnach ist die trigonometrische Form dann $$\begin{aligned}z&=\lvert z \rvert \cdot \left(\cos{\varphi} +\sin{\varphi}\right)\\&=\sqrt[3]{5}\cdot \left(\cos{-26,15°}+i\sin{-26,15°}\right)\\&=5^{1/3} \cos\left(1/3 \arctan\left(2 \sqrt{6}\right)\right) - i 5^{1/3}\sin\left(1/3 \arctan\left(2 \sqrt{6}\right)\right)\end{aligned}$$