Komplexer Bruch & Exponent

Question

ich benötige Hilfe bei dieser Aufgabe $$\left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}  \right)^{2011} = \space ?$$

Ich soll die Lösung in der Normalform x+iy angeben. Der Nenner bereitet mir dabei große Probleme, klar könnte man das Ganze in Polarform umwandeln, aber das ist mir zu aufwendig (ist nämlich eine Altklausuraufgabe mit nur 2 Punkten). Gibt es einen schnelleren Weg?

Schon mal vielen Dank für Hilfe.

Answer 1

Ja , das geht über die Polarform.

Nö - nicht unbedingt. Man könnte den Ausdruck ja zunächst quadrieren. Es ist$$\left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right)^2= \frac 12 - \frac{2i}{2} - \frac 12= -i$$und nochmal quadrieren gibt $$(-i)^2=-1$$ist doch schon viel weniger komplex - oder?

Also ist$$\quad \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right)^{2011} \\ = \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right)^{2008+3} \\ = \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right)^{3} \\ = (-i) \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) \\= \frac 1{\sqrt 2} (1 + i)$$

Answer 2

= (-1)/√2  + i  1/√2 = x +iy

Das ist doch schon die Lösung. Wie lautet die genaue Aufgabe?

Comments

Das ganze noch hoch 2011, also der Exponent muss weg.

 In der Aufgabe steht nur, dass man das berechnen soll und in Normalform angeben soll.

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Ja , das geht über die Polarform.