Vektorrechnung, aufgespannter V-Raum

Question

Aufgabe:

Man bestimme die Basis des von den folgenden Vektoren aufgespannten Vektorraumes.

(1,-1,1), (1,2,0), (0,1,1), (2,1,2)

Problem/Ansatz:

Könnten Sie mir hierbei helfen?

Answer 1

[1, -1, 1]
[1, 2, 0]
[0, 1, 1]
[2, 1, 2]

II - I ; IV - 2*I

[1, -1, 1]
[0, 3, -1]
[0, 1, 1]
[0, 3, 0]

3*III - II ; IV - II

[1, -1, 1]
[0, 3, -1]
[0, 0, 4]
[0, 0, 1]

Man sieht, dass der ganze R^3 aufgespannt wird. Damit ist

[1, 0, 0] ; [0, 1, 0] ; [0, 0, 1]

eine Basis.

Answer 2

Aloha :)

Schreibe die Vektoren als Spalten nebeneinander und bringe die entstandene Matrix durch elementare Spaltenoperationen auf Dreieckform:$$\left(\begin{array}{rrrr}& -S_1 & & -S_1\\\hline1 & 1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}+S_3& -3S_3 & & -S_2 \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 3 & 1 & 3\\1 & -1 & 1 & 0\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{rrrr} -2S_4& +4S_4 & -S_4& \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\2 & -4 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}\vec b_1 & & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Alle vom \(\vec 0\) verschiedenen Spalten bilden eine Basis.

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