Gegeben sind die (Orts-) Vektoren a=(3;2;1) b=(0;3;-1). Suche Abstands des Punktes P(3;1;-3) von aufgespannter Ebene.

Question

Gegeben sind die (Orts-) Vektoren a=(3;2;1) b=(0;3;-1)

Welchen Abstand hat der Punkt (3;1;-3) von der durch Vektor a und Vektor b aufgespannten Ebene?

Comments

Das kann man z.B. mit dem Spatprodukt oder mit der Hesseschen Normalform (HNF) der aufgespannten Ebene machen. Kennst du einen dieser beiden Begriffe?

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Ich soll die Aufg mit diesen Formel lösen.kannst du es mir erklähren?

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Aha: Du sollst den Normalenvektor zur Ebene berechnen. Dazu musst du mit dem Vektorprodukt

n= a x b beginnen.

rq-rp = 0Q -0P gibt den Vektor PQ.

Das Skalarprodukt im Betrag dividiert durch n im Betrag gibt dann die Länge der Projektion von PQ auf n und damit die Länge von PQ'' das ist dann dasselbe wie der Abstand d.

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Erst mal vielen vielen Dank! Ich bin da echt sehr verzweifelt...

könntest du mal schauen, ob ich so richtig gerechnet habe?

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du hast beim Einsetzen für a (3,2,0) statt (3,2,1) genommen.

Dein Rechenweg mit b) liefert inzwischen auch mein Resultat und sollte stimmen.
(ich hatte a x b falsch)

Answer 1

Gegeben: (Orts-) Vektoren a=(3;2;1) b=(0;3;-1) und Punkt (3;1;-3)
Der Abstand kann folgendermassen berechnet werden.

d = |Spatprodukt(a,b,0P)| / |Vektorprodukt(a,b)|

Spatprodukt (a,b,0P) = -27+0-6 -(9-3+0) = -33-6= -39

|Spatprodukt (a,b,0P) | = 39

Vektorprodukt a x b = (-2-3 , -(-3-0), 9-0) = (-5, 3, 9)

|a x b| = √(25+1 + 81) = √115

d = 39/ √115

(ohne Gewähr. Unbedingt noch nachrechnen und Fehler melden)