Integrale mit Buchstaben?

Question

Problem/Ansatz:

Hallo, könnt ihr mir bitte bei nr. 6 helfen. Integrale mit normalen Zahlen kann ich berechnen aber die Buchstaben verwirren mich, vorallem bei b.

6 Berechnen Sie die folgenden Integrale.
a) \(\displaystyle \int \limits_{-1}^{1} k x^{3}-k x \;\mathrm{d} x \)
b) \(\displaystyle \int \limits_{0}^{a} a x-x^{2} \;\mathrm{d} x \)
c) \(\displaystyle \int \limits_{1}^{2} \frac{c}{x^{2}} \;\mathrm{d} x \)

b)                                                       
  a~0    ax-x^2 dx= [1/2*a*x-1/3*0^3] = (1/2*a*a-1/3*a^3)-(1/2*a*0-1/3*0^3)= ???
   

Answer 1

Aloha :)

Behandle die "Buchstaben", die in der Regel Parameter genannt werden, als konstante Zahlen:

$$\int\limits_{-1}^1(kx^3-kx)dx=\int\limits_{-1}^1k(x^3-x)dx=k\int\limits_{-1}^1(x^3-x)dx=k\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1$$$$\qquad=k\left[\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)\right]=0$$

$$\int\limits_{0}^a(ax-x^2)dx=\left[a\,\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^a=a\,\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{a^3}{6}$$

$$\int\limits_1^2\frac{c}{x^2}dx=c\int\limits_1^2\frac{1}{x^2}dx=c\int\limits_1^2x^{-2}dx=c\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]_{1}^2=c\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^2=c\left[-\frac{1}{2}+1\right]=\frac{c}{2}$$