Wie lautet die Funktionsgleichung (x Zeit in Stunden, die anfängliche Masse sei N0)

Question

Aufgabe:

Wie lautet die Funktionsgleichung (x Zeit in Stunden, die anfängliche Masse sei N0), die den radioaktiven Zerfall beschreibt, falls die Halbwertszeit...


2 Tage

10 Minuten

Answer 1

N(t) =N(0)* 0,5^(1/2) , t in Tagen

N(t)=N(0)*0,5^(t/10), t in Minuten

Answer 2

Ansatz  N(x) = No * e^(k*x)

aus 0,5 = e^(24k) folgt k= ln(0,5)/24 = -16,6

also   1.   N(x) = No * e^(-16,6*x)

und   2.  k=  ln(0,5)/(1/6) = -4,16

           also N(x) = No * e^(-4,16*x)

Answer 3

radioaktiven Zerfall

Radiaktiver Zerfall verläuft exponentiell, Ansatz ist also

(1)        f(x) = a·b^x

Und jetzt geht man so vor, wie man immer vorgeht, wenn man in einer Funktionsgleichung Parameter bestimmen soll: man setzt so viele Punkte des Funktionsgraphen ein, wie es Parameter zu bestimmen gilt und löst dann das Gleichungssystem.

die anfängliche Masse sei N0

Der Graph verläuft durch den Punkt (0 | N₀). Einsetzen in (1) liefert

(2)        N₀ = a·b⁰

die Halbwertszeit... 2 Tage

2 Tage sind 2·24 = 48 Stunden.

Nach einer Halbswertszeit ist nur noch die Hälfte von N₀ da.

Der Graph verläuft also durch den Punkt (48 | N₀/2). Einsetzen in (1) liefert

(3)        N₀/2 = a·b⁴⁸

Das Gleichungsystem aus den Gleichungen (2) und (3) muss jetzt gelöst werden. Dazu:

Wegen b⁰ = 1 folgt aus (2)

        N₀ = a.

Einsetzen in (3) ergibt

        N₀/2 = N₀·b⁴⁸

also

        1/2 = b⁴⁸

und somit

        b = 1/2^1/48

Das ergibt die Funktionsgleichung

        f(x) = N₀·1/2^{1/48 x}.

Answer 4

Bei einer Halbwertszeit von 2 Tagen = 48 Stunden

f(x) = N0 * 0.5^(x/48)

Bei einer Halbwertszeit von 10 Minuten = 1/6 Stunde

f(x) = N0 * 0.5^(6x)