Zeige dass die Projektion f die einzigen Eigenwerte 0 und 1 hat

Question

Aufgabe:

V ist ein K-Vektorraum und f:V→V ein Endomorphismus von V.

Ich soll zeigen:

a) P∈K[x] ist ein Polynom und λ∈K ein Eigenwert von f, so ist P(λ) ein Eigenwert von P(f) .

b) wenn f eine Projektion ist, dann sind 0 und 1 die einzigen Eigenwerte

c) f ist diagonalisierbar

Problem/Ansatz:

bei 3. habe ich gesagt, dass f vollständig in Linearfaktoren zerfällt, da es 0 und 1 als einzige Eigenwerte hat (folgt aus b)) und somit diagonalisierbar ist. Bei a) und b) stehe ich leider total auf den Schlauch. Kann mir jemand bei einem Ansatz helfen?

Comments

Tipp zu b): λv = f(v) = f(f(v)) = f(λv) = λf(v) = λ²v.

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Danke Spacko. Kann ich dann nicht einfach sagen, dass nur 0 und 1 möglich sein können, da sonst nicht das gleiche Ergebnis rauskommt wenn ich für λ und λ^2 etwas einsetze?

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Aus λ = λ² folgt λ = 1 oder λ = 0.

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Wenn nun der Körper K die komplexen Zahlen wären?

Gruß

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Uups, die habe falsch geschaut, die .Überlegung ist für jeden Körper richtig.

MathePeter