Sei V ein K-Vektorraum und f: V → V ein Endomorphismus von V

Question

Aufgabe: Es seien \(V\) ein \(K\)-Vektorraum und \(f: V \to V\) ein Endomorphismus von \(V\).

Zeigen Sie:

a) Ist \(P \in K[X]\) ein Polynom und \(\lambda \in K\) ein Eigenwert von \(f\), so ist \(P(\lambda)\) ein Eigenwert von \(P(f)\). Dann sei speziell \(f\) eine Projektion \(\left(f^2=f\right)\), Zeigen Sie:

b) \(0k\) und \(1k\) sind die einzigen möglichen Eigenwerte von \(f\).

c) f ist diagonalisierbar.

Ich habe leider keinerlei Ansätze, kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

a) Bedenke zuerst für einen Eigenvektor zum Eigenwert λ gilt

f^2 (v) = (fof)(v) = f( f(v))  = f ( λv) =  λ*f(v) =   λ*  λ*v =   λ^2 *v.

und durch Induktion folgt dann f^n (v) =λ^n *v.

Ist nun P das Polynom a_nx^n + a_n-1x^(n-1) + ....  a₁x + a_o und v ein

Eigenvektor zum EW λ , dann gilt

P(f)(v) =   (anf^n + an-1f^(n-1) + .... a1f + ao) (v)

         = anf^n(v) + an-1f^(n-1)(v) + .... a1f(v) + ao*v

       und wegen oben ist das

        =  an*λ^n*v + an-1λ^(n-1)*v + .... a1λ*v + ao*v

         =  (an*λ^n + an-1λ^(n-1)+ .... a1λ + ao ) *v

          = P(λ)*v       q.e.d.

b) f^2 = f

<=>  f^2 - f = 0

also char. Polynom  x^2 - x = x*(x-1) hat die Nullstellen 1 und 0 ,

Das sind also die einzigen möglichen Eigenwerte.

c) Da das char. Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt,

ist f diagonalisierbar.

Comments

Vielen lieben Dank, Mathef

---

b)  Warum ist x² - x das char. Polynom?
c)  Dass das char. Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, bedeutet noch nicht, dass der Endomorphismus diagonalisierbar ist.

---

Hängt der Grad des charakteristischen Polynoms nicht von der Dimension des Vektorraums ab?