Partielle Ableitung allgemeines Verständnis

Question

Aufgabe:

Sei \( N \in \mathbb{N}, \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{N}, \lambda \in \mathbb{R}_{0}^{+} \) und \( E: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R} \operatorname{mit} \)
$$ E(\vec{x})=\frac{1}{2} \sum \limits_{j=1}^{N}\left(x_{j}-y_{j}\right)^{2}+\frac{\lambda}{2} \sum \limits_{j=2}^{N}\left(x_{j-1}-x_{j}\right)^{2} $$

Problem/Ansatz:

Man soll dies nun unterschiedlich ableiten zum einen nach:

\( \frac{\partial E(\vec{x})}{\partial x_{1}} \)

und nach

\( \frac{\partial E(\vec{x})}{\partial x_{N}} \)

Also wie ich vorgehen würde im Fall 1: Ich leite an der Stelle X₁ ab -> ich wende die Kettenregel an auf:

(x₁ - y₁)² + (x_1-1 - x ₁ )² => Kettenregel und dann müsste meiner Meinung nach: 2*(x1 - y1) + -2 rauskommen -> stimmt das? die Sachen vor den Summenzeichen+ das Summenzeichen kann ich doch eigentlich ignorieren oder?

Aber wie würde man im zweiten Fall vorgehen? Mir fehlt dabei grundsätzlich der Ansatz -> Was bedeutet die Ableitung denn in Worten? Wie wäre das Vorgehen dabei?

Vielen Dank für die Hilfe :)

Answer 1

Schreib das vielleicht zunächst aus:$$E(\vec{x})=\frac{1}{2} \sum \limits_{j=1}^{N}\left(x_{j}-y_{j}\right)^{2}+\frac{\lambda}{2} \sum \limits_{j=2}^{N}\left(x_{j-1}-x_{j}\right)^{2} \\ = \frac{1}{2}((x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots + (x_N-y_N)^2)+\frac{\lambda}{2}((x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\cdots + (x_{N-1}-x_N)^2)$$ Dann gilt:$$\frac{\partial E(\vec{x})}{\partial x_1}=(x_1-y_1)+\lambda(x_1-x_2)$$$$\frac{\partial E(\vec{x})}{\partial x_N}=(x_N-y_N)-\lambda(x_{N-1}-x_N)$$

Comments

Vielen Dank! okay so ist es irgendwie absolut einleuchtend.

Das einzige was ich mich jetzt noch frage ist, warum entsteht bei der zweiten Ableitung

- λ (Xn-1 - Xn) ? Müsste dort nicht + stehen?

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Hallo,

nein, dort steht ein \(-\), denn betrachten wir \((x_{N-1}-x_N)^2\) und leiten nach \(x_N\) ab, dann ist die innere Ableitung \(-1\).

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Beispiel:

Die Ableitung von \((2-x)^2\) ist \(-2(2-x)\)