Beweise mittels vollständiger Induktion k!+n! <=(k+n)!

Question

Aufgabe:

Beweise mittels vollständiger Indukiton

Für alle k,n Element aus N: k!+n!<=(k+n)!

Problem/Ansatz:

Ich hab den

Induktionsanfang:

n=1

k!+1! =k!+1<=(k+1)! =k!(k+1)

Es gilt also k!+1! <= (k+1)! für jedes k Element von N.

Induktionsvoraussetzung:

Es sei n eine Zahl für die k! +n! <=(k+n)! stimmt.

Induktionsbehauptung:

n->n+1

k! + (n+1)! <= (k+(n+1))! = (k+n+1)! = (k+n)! *(k+n+1)

Beweis:

k!+(n+1)! = k!+n!(n+1) = k!+n!+n!(n+1)<=(k+n)!+n!(n+1)= n!(n+k)+n! (n+1)=n!(n+k)(n+1)=n!(n²+n+kn+k) =n!*n*(n+k+1)

Ich dachte jetzt, wenn k!(n+1)! kleiner gleich ist als n!*n(n+k+1), dann ja erst recht kleiner gleich n!(n+k+1).

Mehr hab ich leider nicht, hab jetz schon eineige versuche zb. das ich um n! (wie im oben genannten Fall) erweitere um dann die IV anwenden zu können, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass das nicht einfach so geht.

Aja ich hoffe, dass der Rest, den ich schon gemacht habe stimmt, ich weiß nämlich nicht.

Bin euch jz schon dankbar für die Hilfe.

Answer 1

Sei \(k\in \mathbb{N}\) fest. Induktion über \(n\in \mathbb{N}\).

Induktionsanfang: \(k!+1!=k+1\leq k!\cdot (k+1)=(k+1)!\)

Induktionsvoraussetzung: \(\exists n\in \mathbb{N} : \, k!+n!\leq (k+n)!\)

Induktionsschluss \(n\leadsto n+1\):$$(k+n+1)!=(k+n+1)(k+n)!\overset{(\text{IV})}\geq (k+n+1)(k!+n!) \\ (k+n+1)(k!+n!) =k!\color{green}(k+n+1)\color{black}+n!\color{green}(k+n+1)\color{black}\geq \color{red}{1} \color{black} \cdot k!+n!\color{red}(n+1)\color{black}= k!+(n+1)!$$ weil \(\color{green}{k+n+1}\color{black}>\color{red}{1} \) und \(\color{green}k+n+1\color{black}>\color{red}n+1\).

Comments

Ich habe meinen Versuch in der Angabe oben jetzt nochmal verändert, aber ds ist so komplett falsch oder?

Danke für deine Hilfe ich verstehe es jetzt, außer hast du beim letzten Schritt k abgezpgen?, hab immer soviele Probleme mit dem Rechnen von Fakultäten.

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Ich habe meine Antwort auch noch etwas hübscher gemacht.

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Du machst deinen ersten Fehler bei dieser Gleichheit:

k!+n!(n+1) = k!+n!+n!(n+1)

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Okay danke für die Info, aber was ich noch nicht verstehe, jetz hat man k!(k+n+1) +n!(k+n+1) = k!+n!(k+n+1) und dann hast du größer gleich 1*k!+n!(n+1), wo ist das k dann hin, wurde es abgezogen?

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Hallo,

das ist eine Art Koeffizientenvergleich:$$k!\color{green}(k+n+1)\color{black}+n!\color{green}(k+n+1)\color{black}\geq \color{red}{1} \color{black} \cdot k!+n!\color{red}(n+1)\color{black}$$ Wir haben auf beiden Seiten jeweils \(k!\) und \(n!\) mit einem Vorfaktor. Auf der linken Seite jeweils \(k+n+1\) und auf der rechten Seite einmal \(1\) und einmal \(n+1\).

Da \(k\in \mathbb{N}\) und damit \(k\geq 0\), je nach Definition auch \(k>0\), wirst du mir bestimmt zustimmen, wenn ich sage, dass \(k+n+1>1\) und \(k+n+1>n+1\).

Ein Beispiel: \(k=3\), \(n=4\), dann folgt:$$k!\cdot (3+4+1)+n!\cdot (3+4+1)=8k!+8n! \\ 1\cdot k!+n!(4+1)=k!+5n!$$

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Ahh ok danke :-)