LK, Matrix, abhängigkeit

Question

Aufgabe:

Ich muss begründen, warum die zwei folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

(1) Eine Menge von Vektoren des n ℝ ist genau dann linear abhängig, falls sich ein
Vektor aus dieser Menge als Linearkombination (LK) der anderen Vektoren
darstellen lässt.
(2) Falls jede Zeile einer mxn Matrix A eine Pivotposition besitzt, dann ist Axb =für alle mb∈ℝ konsistent.

Problem/Ansatz:

(1) Beim ersten würde ich sage, dass die Aussage stimmt, denn zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine LK der Vektoren erzeugen lässt.

Mit dem Beispiel: a (12,6) und b(6,3)

12= Lambda*6 → also Lambda = 2

6= Lambda *3 → also Lambda = 2

Aber reicht dies? Wie kann ich das anders beweisen??

(2) Beim zweiten weiß ich, dass kosistentes LGS bedeutet, dass es mindestens eine Lösung besitzt. Pivotspalte bedeutet, die am weitesten links stehende Spalte ungleich der Nullspalte... aber wie zeige ich das?

Answer 1

Bei (1) würde ich das nicht auf 2 Stück beziehen. Du kannst doch so argumentieren:

Wenn einer von endlich vielen Vektoren , nennen wir ihn v , sich als LK der übrigen

darstellen läßt, dann ist die Differenz v - LK = 0

Und das ist eine Linearkombination des 0-Vektors mit mindestens einem

Koeffizienten ( nämlich der von v ist ja 1 ) , der nicht 0 ist.

==>   die Vektoren sind lin.abh.

Und vergiss nicht die Rückrichtung zu zeigen.

Comments

super, vielen Dank! Aber wie zeig ich das noch? :( muss mich wirklich mehr in die thematik einlesen bzw. mich damit beschäftigen...