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Aufgabe:

Grenzwert von Summe


Problem/Ansatz:

Berechnen Sie, falls existent, den Grenzwert der Folge a_n := \( \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+k)} \)

Kann mir hier jemand bitte helfen?

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an, für n von 1 bis 10 ist ungefähr:

[0.8333333333, 0.9171717171, 0.9446982079, 0.9584690080, 0.9667462688, 0.9722725668, 0.9762242279, 0.9791903546, 0.9814987274, 0.9833462708]

Der Grenzwert für n→∞ ist vermutlich 1.

Avatar von 123 k 🚀

Und was wäre der Beweis?

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Offenbar gilt$$\sum_{k=1}^{2n}\frac k{2n^2+2n}<\sum_{k=1}^{2n}\frac k{2n^2+k}<\sum_{k=1}^{2n}\frac k{2n^2}$$für alle \(n\ge1\). Mithilfe der Gaußschen Summenformel folgt daraus$$1-\frac1{2n+2}<a_n<1+\frac1{2n}.$$

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$$a_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+k)} $$

Zunächst eine Beweisidee

Dafür wähle ich ein großes n z. B. 1000

und betrachte die Summe von hinten nach vorne

$$a_n := \sum\limits_{k=1}^{2*1000}{k/(2*1000^2+k)} =$$

$$\frac{2000}{2002000} + \frac{1999}{2001999}+\frac{1998}{2001998}+....+\frac{1}{2000001}$$

Diese Summe verändere ich nur unwesentlich, sie wird etwas größer, da ich die Nenner etwas verkleinere.

$$\frac{2000}{2000000} + \frac{1999}{2000000}+\frac{1998}{2000000}+....+\frac{1}{2000000}$$

Jetzt vergrößer ich die Nenner etwas die Brüche und damit die Summe wird also etwas kleiner.

$$\frac{2000}{2002000} + \frac{1999}{2002000}+\frac{1998}{2002000}+....+\frac{1}{2002000}$$

Wir sehen, dass die Auswirkung der Veränderungen umso kleiner werden, je größer das n gewählt wird.

Nun folgt der Beweis.

$$O_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2)} >$$

$$a_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+k)} >$$

$$U_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+2n)} $$

Wir haben eine obere Grenze O und eine untere Grenze U

Wie ich zeigen werde streben beide gegen 1

$$O_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2)} =$$

$$1/(2n^2)*2n*(2n+1)/2=$$

$$1+1/2n→1$$

$$U_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+2n)}= $$

$$1/(2n^2+2n)*2n*(2n+1)/2=$$

$$1/(2n^2+2n)*2n*(2n+2)/2--1/(2n^2+2n)*2n/2=$$

$$1-1/(2n+2)→1$$

Die obere Grenze, als auch die untere Grenze streben gegen 1, also strebt auch die Folge a_n gegen 1.

Avatar von 11 k

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