$$a_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+k)} $$
Zunächst eine Beweisidee
Dafür wähle ich ein großes n z. B. 1000
und betrachte die Summe von hinten nach vorne
$$a_n := \sum\limits_{k=1}^{2*1000}{k/(2*1000^2+k)} =$$
$$\frac{2000}{2002000} + \frac{1999}{2001999}+\frac{1998}{2001998}+....+\frac{1}{2000001}$$
Diese Summe verändere ich nur unwesentlich, sie wird etwas größer, da ich die Nenner etwas verkleinere.
$$\frac{2000}{2000000} + \frac{1999}{2000000}+\frac{1998}{2000000}+....+\frac{1}{2000000}$$
Jetzt vergrößer ich die Nenner etwas die Brüche und damit die Summe wird also etwas kleiner.
$$\frac{2000}{2002000} + \frac{1999}{2002000}+\frac{1998}{2002000}+....+\frac{1}{2002000}$$
Wir sehen, dass die Auswirkung der Veränderungen umso kleiner werden, je größer das n gewählt wird.
Nun folgt der Beweis.
$$O_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2)} >$$
$$a_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+k)} >$$
$$U_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+2n)} $$
Wir haben eine obere Grenze O und eine untere Grenze U
Wie ich zeigen werde streben beide gegen 1
$$O_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2)} =$$
$$1/(2n^2)*2n*(2n+1)/2=$$
$$1+1/2n→1$$
$$U_n := \sum\limits_{k=1}^{2n}{k/(2n^2+2n)}= $$
$$1/(2n^2+2n)*2n*(2n+1)/2=$$
$$1/(2n^2+2n)*2n*(2n+2)/2--1/(2n^2+2n)*2n/2=$$
$$1-1/(2n+2)→1$$
Die obere Grenze, als auch die untere Grenze streben gegen 1, also strebt auch die Folge a_n gegen 1.
