Zeigen Sie formal, dass aus der Konvergenz... 1/sqrt(a_n)\rightarrow 1/a folgt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie formal, dass aus der Konvergenz $$ a_n\rightarrow a \\ \sqrt{a_n}\rightarrow a $$

und für $$ a_n,a\neq 0 \\ \frac{1}{sqrt(a_n)}\rightarrow \frac{1}{a} $$

folgt. Wählen Sie dazu zu gegebenem $$\epsilon >0$$ ein passendes $$n_0$$ und prüfen Sie die Definition nach.

Ansatz:

Bräuchte einen Ansatz.☺ ...

Comments

Bei der Sache mit der Wurzel ist aber sicher vorausgesetzt, dass

das a und kein Folgenglied negativ sind und der Grenzwert

der "Wurzelfolge" nicht a sondern √a ist.

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Meinst du \(\frac{1}{\sqrt{a_n}}\to \frac{1}{\sqrt{a}}\), denn \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\)

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Ich dachte als erstes sollte gezeigt werden

$$ a_n\rightarrow a ==> \sqrt{a_n}\rightarrow \sqrt{a} $$

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Ne dort steht man soll zeigen $$ a_n\rightarrow a \Rightarrow \sqrt(a_n) \rightarrow a $$ und dann, dass daraus auch $$ \frac{1}{\sqrt(a_n)} \rightarrow \frac{1}{a} $$ folgt. So habe ich das auf jeden Fall verstanden. Aber da steht auch a und nicht wurzel(a) was mich auch verwirrte.

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Hier ist der allgemeine Fall gezeigt:

https://www.mathelounge.de/767410/wurzel-und-konvergenz

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Den Satz \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n=a ⇒ \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt{a_n} \)=a kann man nicht zeigen, sondern leicht widerlegen.

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Ok. Danke für die Hinweise!