Aloha :)
Das Integral ist negativ, wenn die Funktion unterhalb der \(x\)-Achse verläuft und positiv, falls sie oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. Wenn du also die Fläche ausrechnen möchtest, musst du die Integrale von einer Nullstelle zur nachsten bestimmen und dann die Beträge dieser Integrale addieren.
Wir fangen an mit den Nullstellen der Funktion:$$f(x)=-x^3-5x^2-4x=-x(x^2+5x+4)=-x(x+4)(x+1)$$Die Faktorisierung von \((x^2+5x+4)\) habe ich vorgenommen, indem ich zwei Zahlen gesucht habe, deren Summe \(5\) und deren Produkt \(4\) ist. Das leisten die Zahlen \(4\) und \(1\). Aus der Faktorisierung können wir nun 3 Nullstellen ablesen, die ich direkt der Größe nach sortiere:$$x_1=-4\quad;\quad x_2=-1\quad;\quad x_3=0$$
Zur Überprüfung habe ich uns die Funktion mal geplottet:
~plot~ -x^3-5x^2-4x ; [[-5|2|-7|3]] ~plot~
Wir bestimmen nun die Integrale von einer Nullstelle zur nächsten. Gemäß der Zeichnung erwarten wir, dass das erste Integral negativ ist, weil der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft und das zweite Integral positiv ist, weil der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft:$$I_1=\int\limits_{-4}^{-1}f(x)\,dx=\int\limits_{-4}^{-1}\left(-x^3-5x^2-4x\right)dx=\left[-\frac{x^4}{4}-\frac{5}{3}x^3-2x^2\right]_{-4}^{-1}=-\frac{45}{4}$$$$I_2=\int\limits_{-1}^{0}f(x)\,dx=\int\limits_{-1}^{0}\left(-x^3-5x^2-4x\right)dx=\left[-\frac{x^4}{4}-\frac{5}{3}x^3-2x^2\right]_{-1}^{0}=\frac{7}{12}$$Die Beträge davon müssen wir addieren, um die gesuchte Fläche zu erhalten:$$F=\left|I_1\right|+\left|I_2\right|=\frac{45}{4}+\frac{7}{12}=\frac{142}{12}=\boxed{\frac{71}{6}}$$
