Integralrechnung Graph und X-Achse

Question

könnte mit bitte jemand anhand der Lösungen erklären, wie man bei Teilaufgabe b), e) vorgeht ?

Danke schonmal

Text erkannt:

Berechnen \( \mathrm{S} \)
13. Für Freizeitaktivitäten im Wassersport wird ein neuer Kanal als Verbindung zwischen zwei Seen angelegt.
a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm \( f(x) \) für den recht's abgebildeten Kanalboden.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der abgebildeten Querschnittsfläche des Kanals.
c) Verwenden Sie die Funktion \( f \), die den Kanalboden beschreibt, und betrachten Sie den um zwei Einheiten nach unten verschobenen Graphen der Funktion \( \mathrm{g} \) mit \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=f(\mathrm{x})-2 \) Die x-Achse beschreibt nun die Wasseroberfläche.
Berechnen Sie mithilfe der Funktion g den Flächeninhalt der Querschnittsfläche.
d) Der Kanal hat eine Gesamtlänge von einem Kilometer. Berechnen Sie das Wasservolum
e) Im Sommer steht das Wasser im Kanal an der tiefsten Stelle 1 m hoch. Bestimmen Sie das Wasservolumen des beschriebenen Kanals im Sommer.

Text erkannt:

13. a) Ansatz: \( f(x)=a \cdot x^{2} \) \( f(4)=a \cdot 16=2 \)
also gilt a \( =\frac{1}{8} \) Somit ergibt sich \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{8} x^{2} \)
b) \( A_{0}=2 \cdot 8-2 \cdot \int \limits_{0}^{4} \frac{1}{8} x^{2} d x=16-2 \cdot\left[\frac{1}{24} x^{3}\right]_{0}^{4} \)
\( A_{Q}=16-2 \cdot\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{32}{3} \)
Die Querschnittsflãche beträgt \( 10, \overline{6} \mathrm{~m}^{2} \).
c) \( g(x)=\frac{1}{8} x^{2}-2 \)
$$ A_{Q}=\left|\int \limits_{-4}^{4}\left(\frac{1}{9} x^{2}-2\right) d x\right|=\mid\left[\frac{1}{24} x^{3}-2 x\left[_{-4}^{4} \mid\right.\right. $$
\( \mathrm{A}_{\mathrm{Q}}=\left|-\frac{16}{3}-\frac{16}{3}\right|=\frac{32}{3} \)
d) \( 1000 \mathrm{~m} \cdot 10, \overline{6} \mathrm{~m}^{2}=10666, \overline{6} \mathrm{~m}^{3} \)
Auf \( 1 \mathrm{~km} \) Lảnge hat der Kanal ein Wasservolumen von etwa \( 10667 \mathrm{~m}^{3} \).
e) \( f(x)=1 \) fur \( x=\sqrt{8} \) und \( x=-\sqrt{8} \) Querschnittsfläche bei 1 m Höhe:
\( A=2 \cdot \sqrt{8} \cdot 1-2 \cdot \int \limits_{0}^{\sqrt{8}} \frac{1}{8} x^{2} d x \)
\( A=2 \cdot \sqrt{8}-2 \cdot\left[\frac{1}{24} x^{3}\right]_{0}^{\sqrt{5}}=2 \cdot \sqrt{8}-2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \sqrt{8} \)
\( A=\frac{4}{3} \sqrt{8}-3,77 \)
Die Querschnittsflàche beträgt bei \( 1 \mathrm{~m} \) wasse Zoom a \( 3,77 \mathrm{~m}^{2} \)
Das crgibt auf einer Kanallänge von 1 km ein Was . volumen von etwa \( 3770 \mathrm{~m}^{3} \).

Answer 1

Mit dem Integral berechnet man die braune Fläche im Bereich

von x=0 bis x=4 . Das gibt 8/3. Also im

gesamten Bereich von -4 bis 4 sind es 16/3.

Und das Rechteck mit der Breite 8 und der Höhe 2

hat die Fläche 16.  Also das blaue 16 - 16/3 =  32/3

e) f(x)= 1 ist der Ansatz für die Schnittpunkte der

Parabel mit einer Gerade parallel zur x-Achse

in der Höhe von 1. (Also der Wasserspiegel.)

Dann geht das Wasser als von -√8  bis √8.

Und die Querschnittsfläche bestimmst du dann analog

zu b) allerdings mit dem Integral von -√8  bis √8

oder eben von 0  bis √8 und nimmst das dann doppelt.

Und das Rechteck ist dann ja auch nur noch 2√8 breit

und 1m hoch , also Fläche   2√8 * 1 =  2√8.

Und dann noch Querschnittsfläche mal die Länge

gibt das Volumen.

Comments

Oh gott.... Danke dir

Answer 2

13.b)
8·2 - ∫ (-4 bis 4) (0.125·x^2) dx = 32/3 = 10.67 m²

13.e)
f(x) = 0.125·x^2 = 1 → x = ± √8
2·√8·1 - ∫ (-√8 bis √8) (0.125·x^2) dx =8/3·√2 = 3.771 m²
V = 3.771·1000 = 3771 m³