Konvergenz untersuchen mit Quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen mit Hilfe des Quotientenkriteriums:

(a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n !} \)

(b) \( \sum \limits_{n=4}^{\infty} \frac{n^{n}}{2^{(n-3)^{2}}} \)

(c) \( \sum \limits_{n} \frac{n !}{2^{n^{2}}} \)

Achtung: Ausdrücke der Form \( a^{b^{c}} \) sind als \( a^{\left(b^{c}\right)}, \) und nicht als \( \left(a^{b}\right)^{c} \) zu lesen.

Problem:

Bräuchte bitte Hilfe bei b). Ich sehe nicht wie ich das anschließend vereinfachen kann.

Answer 1

Zu b) kannst du folgendes machen:

\(a_n:=\frac{n^n}{2^{(n-3)^2}}=\frac{n^n}{2^{n^2-6n+9}}=\frac{n^n}{2^{n^2-6n}\cdot 2^9}=\frac{1}{2^9}\cdot \frac{n^n}{2^{n(n-6)}}=\frac{1}{2^9}\cdot \frac{n^n}{\left(2^{n-6} \right)^n}\\=\frac{1}{2^9}\cdot \left (\frac{n}{2^{n-6}}\right)^n\).

Dann hat man weiter

\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{1}{2^9}\cdot \left (\frac{n+1}{2^{n-5}}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2^9}\cdot \left (\frac{n}{2^{n-6}}\right)^n}=\left (\frac{n+1}{2^{n-5}}\right)^{n+1}\cdot \left (\frac{2^{n-6}}{n} \right)^n=\left (\frac{n+1}{2^{n-5}}\right)\cdot \left (\frac{n+1}{2^{n-5}}\right)^n\cdot \left (\frac{2^{n-6}}{n} \right)^n\\=\left (\frac{n+1}{2^{n-5}}\right)\cdot \left(\frac{n+1}{n} \right)^n\cdot \left(\frac{2^{n-6}}{2^{n-5}} \right)^n=\left (\frac{n+1}{2^{n-5}}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)^n\cdot 2^{-n}=\frac{n+1}{2^{2n-5}}\cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)^n\).

Schließlich folgt nach dem Quotientenkriterium:

\(\lim\limits_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right |=\lim\limits_{n \to \infty}\left |\frac{n+1}{2^{2n-5}}\cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \right |\\=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n+1}{2^{2n-5}}\cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)^n\\=0\cdot e=0<1.\)