Hallo,
rechne es doch mal für ein beliebiges \(n\) durch. Ich nehme mal \(n=4\), dann steht da $$\int_0^1 \frac{\lfloor 4 \sqrt x\rfloor}{4} \,\text{d}x = \frac 14 \int_0^1 \lfloor 4 \sqrt x\rfloor \,\text{d}x $$Die Funktion \(f(x) = \lfloor 4 \sqrt x\rfloor\)sieht so aus:
~plot~ floor(4*sqrt(x));[[-1|1.5|-1|5]];x=1 ~plot~
das Integral besteht aus drei bzw. (\(n-1\)) Rechtecken mit den Höhen von \(1\) bis \(n-1=3\). Das erste Rechteck mit der Höhe \(1\) beginnt bei $$4 \sqrt{x_1} = 1 \implies x_1 = \frac 1{4^2}$$und jedes weitere Rechteck beginnt bei$$4 \sqrt{x_k} = k \implies x_k = \left( \frac k4\right)^2$$Also ist doch $$\int_0^1 \lfloor 4 \sqrt x \rfloor\,\text{d}x = \sum_{k=1}^3 k\left( \left( \frac{k+1}{4} \right)^2 - \left( \frac{k}{4} \right)^2 \right)$$Das \(1/4^2\) kann man nach vorne ziehen$$\quad = \frac 1{4^2} \sum_{k=1}^3 k\left( (k+1)^2 - k^2 \right) $$man kann das ausmultiplizieren oder auch mal ausführlich hinschreiben$$\quad = \frac 1{4^2} \left( 1(2^2 - 1^2) + 2(3^2 - 2^2) + 3(4^2 - 3^2) \right) \\ \quad = \frac 1{4^2} \left( 3 \cdot 4^2 - \left(1^2 + 2^2 + 3^2\right)\right)$$oder allgemein$$ \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} k((k+1)^2 - k^2) \\ \quad =\frac 1{n^2} \left( (n-1)n^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k^2\right) \\ \quad = n-1 - \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} k^2$$mit dem Rest solltest Du alleine klar kommen. Ansonsten frage bitte hier nach. Die Summe der Quadratzahlen findest Du z.B. hier.
