Integralberechnung mit Gauß-Klammer

Question

Aufgabe (Analysis):

Es bezeichne [.] die Gauß-Klammer. Berechnen Sie das folgende Integral für gegebenes

n ∈ N  :  $\int\limits_{0}^{1}$ ( [n$\sqrt{x}$] /n ) dx

Ich versuche das mit der Gauß-Klammer zu verstehen. Ich weiß zwar, dass die Gauß-Klammer mein Maximum-Wert bzw. Minimum-Wert angibt, aber wie ich das bezüglich Integral lösen soll, weiß ich leider nicht.

Answer 1

Hallo,

rechne es doch mal für ein beliebiges $n$ durch. Ich nehme mal $n=4$, dann steht da $$\int_0^1 \frac{\lfloor 4 \sqrt x\rfloor}{4} \,\text{d}x = \frac 14 \int_0^1 \lfloor 4 \sqrt x\rfloor \,\text{d}x$$Die Funktion $f(x) = \lfloor 4 \sqrt x\rfloor$sieht so aus:

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f₁(x) = floor(4·√(x))Zoom: x(-1…1,5) y(-1…5)x = 1

das Integral besteht aus drei bzw. ($n-1$) Rechtecken mit den Höhen von $1$ bis $n-1=3$. Das erste Rechteck mit der Höhe $1$ beginnt bei $$4 \sqrt{x_1} = 1 \implies x_1 = \frac 1{4^2}$$und jedes weitere Rechteck beginnt bei$$4 \sqrt{x_k} = k \implies x_k = \left( \frac k4\right)^2$$Also ist doch $$\int_0^1 \lfloor 4 \sqrt x \rfloor\,\text{d}x = \sum_{k=1}^3 k\left( \left( \frac{k+1}{4} \right)^2 - \left( \frac{k}{4} \right)^2 \right)$$Das $1/4^2$ kann man nach vorne ziehen$$\quad = \frac 1{4^2} \sum_{k=1}^3 k\left( (k+1)^2 - k^2 \right)$$man kann das ausmultiplizieren oder auch mal ausführlich hinschreiben$$\quad = \frac 1{4^2} \left( 1(2^2 - 1^2) + 2(3^2 - 2^2) + 3(4^2 - 3^2) \right) \\ \quad = \frac 1{4^2} \left( 3 \cdot 4^2 - \left(1^2 + 2^2 + 3^2\right)\right)$$oder allgemein$$\frac 1{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} k((k+1)^2 - k^2) \\ \quad =\frac 1{n^2} \left( (n-1)n^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k^2\right) \\ \quad = n-1 - \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} k^2$$mit dem Rest solltest Du alleine klar kommen. Ansonsten frage bitte hier nach. Die Summe der Quadratzahlen findest Du z.B. hier.

Comments

Sehr schön, aber ich glaube das Bild gehört zu [6√x] und nicht   [4√x]

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vielen Dank, ich werde mir das aufjedenfall angucken !

ich würde im letzten Schritt das Summenzeichen ausschreiben wegen k² also

(1/6)n(2n+1)(n+1) und dann zusammenfassen. Nur mich stört der Index, müsste ich da dann eine Indexverschiebung machen ?

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aber ich glaube das Bild gehört zu [6√x] und nicht [4√x]

ein Copy&Paste-Problem .. da hatte wohl das Paste nicht geklappt ;-)

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Nur mich stört der Index, müsste ich da dann eine Indexverschiebung machen ?

Nein - ich habe es nochmal vereinfacht (s.o.). Du musst nur in der Formel das $n$ durch ein $n-1$ ersetzen.

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zur Kontrolle; ich habe: $$\int_0^1 \frac{\lfloor n \sqrt x\rfloor}n \,\text{d}x = \frac 23 - \frac {3n+1}{6n^2}$$rechne es aber bitte nach.

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ach okay stimmt .

Nur noch mal eine Frage zu 1/n ,die muss ich noch vor dem Summenzeichen hinzufügen, weil wir im gesamten Rechenschritt die 1/n rausgelassen haben oder?

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Nur noch mal eine Frage zu 1/n ,die muss ich noch vor dem Summenzeichen hinzufügen, weil wir im gesamten Rechenschritt die 1/n rausgelassen haben oder?

Ja sicher doch - ich habe das bloß aus Gründen der Einfachheit nicht den ganzen Rechenweg mit herum geschleppt ;-)

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super danke Dir !