Ableitung cos, sin in einer Wurzel. f(x)= √ln(sinx*cosx)

Question

 

wie leite ich f(x)= √ln(sinx*cosx) ab?

Leider scheiter ich an der Wurzel. Eine einfache Umschreibung der Wurzel als ^1/2 scheint mir nicht plausibel...

Danke, viele Grüße und einen guten Rutsch !

Comments

Warum scheint es dir nicht plausibel.

Das ist der beste Weg eine Wurzel abzuleiten.

Answer 1

Das ist sicher hilfreich! ;)

Ich komme auf folgendes (mehrfache Anwendung der Kettenregel + am Ende die Produktregel):

$$f(x) = \sqrt{\ln(\sin(x)\cos(x))}$$

$$f'(x) = \frac12(\ln(\sin(x)cos(x)))^{-\frac12}\cdot(\ln(\sin(x)\cos(x))'$$

$$= \frac12(\ln(\sin(x)cos(x)))^{-\frac12} \cdot \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \cdot (\sin(x)\cos(x))'$$

$$= \frac12(\ln(\sin(x)cos(x)))^{-\frac12} \cdot \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \cdot (\cos^2(x)-\sin^2(x))$$

Müsste passen?! Kannst ja selbst nochmals rechnen und vergleichen :).

Guten Rutsch

Comments

Gerne :)   .

Answer 2

Wir haben hier eine mehrfache Anwendung der Kettenregel und eine Produktregel. Am besten verhält man sich genau nach Vorschrift, wie es in der Schule erklärt worden ist. Ich probiere es mal vorzumachen:

f(x) = √(LN(SIN(x)·COS(x)))

u(x) = √x
u'(x) = 1/(2·√x)

v(x) = LN(x)
v'(x) = 1/x

w(x) = SIN(x)·COS(x)
w'(x) = 2·COS(x)^2 - 1

f(x) = u(v(w(x)))
f'(x) = u'(v(w(x))) * v'(w(x)) * w'(x)

f'(x) = 1/(2·√(LN(SIN(x)·COS(x)))) * 1/(SIN(x)·COS(x)) * (2·COS(x)^2 - 1)
f'(x) = (2·COS(x)^2 - 1) / (2·SIN(x)·COS(x)·√(LN(SIN(x)·COS(x))))