Volumen des Körpers bei Rotation um z-Achse mit Zylinderkoordinaten

Question

Aufgabe:

Das Hyperbelstück H in der x − z−Ebene wird beschrieben durch

\( \mathcal{H}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}-z^{2} / 2=1,-2 \leq z \leq 2, y=0\right\} \)

Volumen bei Rotation um Z-Achse.

Problem/Ansatz:

Es gilt: x = \(\sqrt{1 + \frac{z^2}{2}}\)

miz z=-2 und z=2 habe ich für x, also hier der Radius da y=0 war.

-1 <= x <= \( \sqrt{3} \)

Nun in Zylinderkoordinaten:

x ist gleichzeitig der Radius des Körpers.

0 <= φ <= 2π, da eine ganze Rotation um z

und -2 <= z <= 2

\( \int \limits_{-2}^{2} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{1}^{\sqrt{3}} r d r d \phi d z \)

nachdem ausrechnen komme ich auf

= 8π

Aber ich denke mein Radius (obere grenze) ist nicht richtig oder?

mfg

Und noch was kleines:

Auf geogebra habe ich das eingeben

x^(2)-((z^(2))/(2))-1=0

und folgendes erhalten

ist das richtig?

Answer 1

Aloha :)

Du brauchst eigentlich nur Kreise mit der Fläche \(\pi\,x^2\) entlang der \(z\)-Achse zu integrieren:$$V=\int\limits_{-2}^2\pi x^2\,dz=\pi\int\limits_{-2}^2\left(1+\frac{z^2}{2}\right)dz=\pi\left[z+\frac{z^3}{6}\right]_{-2}^2=\frac{20}{3}\,\pi$$

Comments

ja das stimmt schon x ist ja der radius. also pi*r^2

aber lul meinte r ist richtig... wieso ist bei dir ein anderes ergebnis? dein ergebnis ist logisch...also wieso ist meine version falsch? also 8pi. wo ist der fehler?

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Der Radius \(r\) entspricht dem positiven \(x\). Die obere Grenze für das Integral über \(dr\) ist bei dir konstant gleich \(\sqrt3\). Tatsächlich hängt aber die obere Grenze für \(x\) bzw. für \(r\) von \(z\) ab. Richtig wäre die obere Grenze \(\sqrt{1+\frac{z^2}{2}}\).

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genau... also meine neue grenze durch ausprobieren lautet 0 <= r <= \( \sqrt{1+\frac{z^2}{2}} \)

ich dachte eben bei der umwandlung ins polark. würde sich die grenze ändern. daher habe ich ohne selbst zu verstehen auf wz3 getippt. auch wenn diese konstante grenze für mich falsch aussah.

die obere verstehe ich etwas. einfach umformen. aber die untere 0 verstehe ich nicht ganz. ich hatte erst 1 raus für die untere.

mfg

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Das \(r\) übernimmt die Rolle des postiven \(x\). Aus der Rahmenbedingung$$x^2-\frac{z^2}{2}=1$$folgt die Obergrenze$$r=\sqrt{1+\frac{z^2}{2}}$$Da du nicht das Volumen eines Hohlkörpers bestimmen sollst, muss \(r=0\) die untere Grenze sein.

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wie kommt man auf die 0?

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Du fängst doch an der \(y\)-Achse an, deswegen muss \(x=0\) die untere Grenze sein. Bei \(x=1\) würdest du einen Zylinder mit Radius \(1\) um die \(y\)-Achse herum aussparen.

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das habe ich nicht ganz verstanden... wie sieht es rechnerisch aus?

wo setze ich z= -2 oder z =0 oder y = 0 ein um x=0 zu erhalten?

also obere grenze wie folgt:

r = \( \sqrt{x^{2}+y^2} \) und y=0, dann bleibt x übrig. was ich oben eben umgeformt habe.

und wie komme ich auf x=0?

mfg

Answer 2

Hallo

 1. Dei Zeichnung ist so falsch, du hast ja die Hyperbel in y Richtung als Fläche, sie liegt aber in der Ebene y=0 und  wird rotiert,

in Geogebra muss du dazuschreiben y=0 oder erst nur 2 d arbeiten, dann 3 d einschalten, ich hab dann ein paar der Kreise eingezeichnet.

deine Grenze für r ist richtig,

lul

Comments

ok danke :D..................

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also Tschakabumba meinte die lösung ist 20/3. sein lösungsweg ist logisch. ich muss aber mit polark.

und nach ausprobieren komme ich auf 0 <= r <= \( \sqrt{1+\frac{z^2}{2}} \)

weiß noch nicht wieso genau so die grenzen sind.

aber die obere grenze ist glaube ich so, weil wir hier eine "parabelartige" steigung haben. ich dachte aber dass sich in polarkoord. die grenzen ändern sollten.

und die untere verstehe ich noch nicht. sollte eigentlich 1 sein aber 20/3 kommt mit 0 heraus.

mfg.

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wie kommt man auf die 0?

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oder ist doch 1 die untere grenze? dann wäre 8/3pi die lösung.

mfg

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ich habe nun x=0 als untere genommen.

Ist eigentlich sowieso egal ob 1 oder 0.

Hauptsache der Lösungsweg ist an sich logisch.

mfg vielen dank