Begründen Sie, dass alle Graphen der Funktionenschar punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen.

Question

Aufgabe:

4 Begeben ist die Funktionenschar \( f_{a} \) mit \( f_{a}(x)=-a x^{3}+4 a x(a+0) \)
a) Begründen Sie, dass alle Graphen der Funktionenschar punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen.
b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von \( f_{a} \) durch die Punkte \( P(-2 \mid 0) \) und \( Q(2 \mid 0) \) verlaufen.
c) Zeigen Sie, dass alle Graphen von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen.
d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von \( f_{a} \) und berechnen Sie, für welchen Wert von a diese Tangente die Steigung m=8 hat.

Problem/Ansatz:

Zu a) Für die Punktsymmetrie müssen alle Exponenten von x ungerade sein, aber wie schreibe ich diese "Rechnung" auf? Und warum sind die Exponenten von t dafür egal?

b) kann ich selber. Kontrolllösungen wären aber perfekt und mega lieb!

c) Ich würde einfach wie "immer" Hoch-und Tiefpunkte berechnen und dann schauen, ob es eben genau einen Hoch-und einen Tiefpunkt gibt. Aber ist das nicht irgendwie dumm? Also gibt es nicht einen schlaueren Weg wie ich herausfinde, ob es genau x Extrema gibt?

d) Für die Wendetangente muss ich erst den Wendepunkt berechnen, richtig?

Also fa''(x)= 0 und fa''' ungleich Null.

Die Gleichung einer Tangente ist f(x)= m×x+n.

Jetzt bin ich mir wirklich unsicher: Für den Wendepunkt kommt ja WP (x|y) raus. Berechne ich jetzt mit f'(x)=0 die Steigung m der linearen Gleichung?

Liebe Grüße!! Und danke!!

Comments

Stimmt die Funktionsangabe
f ( x ) = a*x^3 + 4ax * ( a + 0 )

Mir dünkt das + 0 etwas überflüssig.
Die Funktion
f ( x ) = a*x^3 + 4ax * a
oder
f ( x ) = a*x^3 + 4a ^2 * x

müßte dasselbe sein.

Answer 1

zu a) Für die Punktsymmetrie müssen alle Exponenten von x ungerade sein, aber wie schreibe ich diese "Rechnung" auf? Und warum sind die Exponenten von t dafür egal?

Es geht ja darum zu zeigen, dass für alle x gilt f(-x) = -f(x) und das ist

sicher erfüllt die Exponenten von x ungerade sind.

b) kann ich selber. Kontrolllösungen wären aber perfekt und mega lieb!

Aber die Funktionsgleichung ist komisch. Was ist das (a+0) ?

c) Ich würde einfach wie "immer" Hoch-und Tiefpunkte berechnen und dann schauen, ob es eben genau einen Hoch-und einen Tiefpunkt gibt. Aber ist das nicht irgendwie dumm? Also gibt es nicht einen schlaueren Weg wie ich herausfinde, ob es genau x Extrema gibt?

Nö, deine Idee ist doch OK.

d) Für die Wendetangente muss ich erst den Wendepunkt berechnen, richtig?

Also fa''(x)= 0 und fa''' ungleich Null.  Ja genau !

Die Gleichung einer Tangente ist f(x)= m×x+n.

Jetzt bin ich mir wirklich unsicher: Für den Wendepunkt kommt ja WP (x|y) raus. Berechne ich jetzt mit f'(x)=0 die Steigung m der linearen Gleichung?

Nö,   m = f ' (x)   mit der x-Koordinate des Wendepunktes.

Und wenn du das m hast kannst du bei y = m*x+n das x und y vom

Wendepunkt einsetzen und bekommst so das n.

Answer 2

Berechne formal \(f_t(-x)\) und zeige, dass das gleich \(-f_t(x)\) ist.

Bei c) musst du ausschließen, dass es statt Hoch- und Tiefpunkt nur einen einzigen Punkt mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt) gibt.