Cauchy Riemann - Differentialgleichung

Question

Hi, Ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Eine Funktion \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt harmonisch, wenn \( \Delta u:=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \) (Laplace'sche
Differentialgleichung).
(a) Zeigen Sie, dass \( u(x, y)=e^{-x}(x \cos (y)+y \sin (y)) \) harmonisch ist.
(b) Bestimmen Sie eine Funktion \( v: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( v(0,0)=0 \) so, dass \( u \) und \( v \) die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen erfüllen. (Dann ist \( u+i v \) eine holomorphe Funktion.)
(c) Schreiben Sie \( f=u+i v \) mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion als Funktion von \( z=x+i y \)
(d) Beweisen Sie, dass jede zweimal differenzierbare holomorphe Funktion harmonisch ist.

Kann mir jemand helfen wie man diese Beweise ausführt und in b) das berechnet, ich habe da Schwierigkeiten. Vielen Dank!

Comments

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

a) ist nur differenzieren und einsetzen, was daran kannst du nicht.

b) kannst du, wenn du d liest.

erstmal soweit, dann versuch mal eigene Ideen

lul

Answer 2

Hi,

zu (a)

Differenzieren und einsetzten

zu (b)

Es soll gelten $$ (1) \quad u_x(x,y) = v_y(x,y) $$ und $$ (2) \quad u_y(x,y) = -v_x(x,y) $$

Also gilt $$ v(x,y) = \int_0^y u_x(x,\eta) d\eta +f(x)  $$ und $$   v(x,y) = \int_0^x u_x(\xi,y) dy +g(y) $$ Wegen \( v(0,0) = 0 \) folgt \( f(0) = g(0) = 0\) Wähle \( f(x) = g(y) = \) dann ergibt sich $$ v(x,y) = -e^{-x} ( x \sin(y) -y \cos(y) ) $$ Nachrechnen ergibt, dass \( u(x,y) \) und \( v(x,y) \) die Cauchy-Riemannschen Dgl. erfüllen.

zu (d)

Siehe http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Komplexe_Analysis/Folien_Cauchy-Riemannsche_Differentialgleichungen.pdf