Beispiel integrieren Hilfe

Question

Wie integriere ich diese Aufgabe? ^^

Bitte mit Rechen weg und wenn’s geht die nötige Erklärung. :) (hab bis jetzt erst Stammfunktionen gesucht...)

\( \int\left(-2 x^{3}-3 x+3 x^{-1}-x^{-4}\right) \mathrm{d} x \)

Comments

Was hast du, und was fehlt?

Stammfunktion von -2x³?

Stammfunktion von -3x?

Stammfunktion von \( \frac{3}{x} \)?

Stammfunktion von \( -\frac{1}{x^4} \)?

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Es fehlt noch alles wie gesagt, das ist mein erstes Beispiel zum Integrieren... hab davor Stammfunkt. gemacht...

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hab davor Stammfunkt. gemacht..

Und genau das sollst du auch hier machen.

Mach mal Stammfunktion von -2x³.

Mach mal Stammfunktion von Stammfunktion von -3x.

Mach mal Stammfunktion von \( \frac{3}{x} \).

Mach mal Stammfunktion von \( -\frac{1}{x^4} \).

Answer 1

Du kannst beim Integrieren konstante Faktoren herausziehen und jeden Summanden einzeln integrieren: $$\int\left(\textcolor{blue}{-2} x^{3}\textcolor{blue}{-3} x\textcolor{blue}{+3} x^{-1}\textcolor{blue}{-1}x^{-4}\right) \mathrm{d} x =\textcolor{blue}{-2}\int x^3 \,\mathrm dx \textcolor{blue}{-3} \int x \,\mathrm dx \textcolor{blue}{+ 3} \int x^{-1} \,\mathrm dx \textcolor{blue}{-1} \int x^{-4} \,\mathrm dx$$

Jetzt berechne die Teilintegrale mithilfe der Potenzregel für \(\mathtt n\neq -1\): $${\displaystyle\int}x^{\textcolor{orange}{\mathtt{n}}}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{\textcolor{orange}{\mathtt{n}+1}}}{\textcolor{orange}{\mathtt{n}+1}}$$ bzw. für \(\mathtt n=-1\) mit \(\displaystyle x^{-1}=\frac{1}{x}\) gilt $$\displaystyle \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln(|x|).$$

Soweit ok?

Zum Vergleichen: $$\int\left({-2} x^{3}-3 x+3 x^{-1}-x^{-4}\right) \mathrm{d} x =-\dfrac{x^4}{2}-3\cdot\dfrac{x^2}{2}+3\ln\left(\lvert x\rvert\right)+\dfrac{x^{-3}}{3}+C$$

Comments

Wir wissen nicht sicher, dass \(x>0\) ist, daher würde ich vorsichtshalber \(\ln|x|\) statt \(\ln(x)\) schreiben.

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Stimmt, danke.

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Vielen Dank! :)

ich kann leider keinen Daumen nach oben geben, da steht das ist nur für bestimmte Mitglieder verfügbar...

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Du kannst meine Antwort aber als Beste auswählen. Das ist sozusagen ein "Daumen nach oben" vom Fragesteller. Du siehst oben an der Antwort einen Stern bzw. das Wort "Beste", da kannst du draufdrücken.

Answer 2

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregel,Grundintegrale

Da brauchst du nur abschreiben

Konstantenregel ∫a*f(x)*dx=a*∫f(x)*dx

Grundintegral ∫x^k*dx=x^(k+1)*1/(k+1)+C mit k≠-1 und für k<0 gilt x≠0

Grundintegral ∫1/x*dx=ln|x|+C mit x≠0   → 1/x=x^(-1) !!

Summeregel ∫[f(x)+/-g(x)]*dx=∫f(x)*dx+/-∫g(x)*dx

F(x)=-2*∫x³*dx-3*∫x*dx+3*∫1/x*dx-1*∫x^(-4)*dx

F(x)=-2*x^(3+1)*1/(3+1)-3*x^(1+1)*1/(1+1)+3*ln|x|-1*x^(-4+1)*1/(-4+1)+C

F(x)=-2/4*x^4-3/2*x²+33*ln|x|+1/3*x^(-3)+C   → -1/(-3)=1/3

F(x)=-1/2*x^4-3/2*x²+3*ln|x|+1/3*x^(-3)+C

Prüfe auf rechen- und Tippfehler.

Comments

Ok danke! :)

ich kann leider keinen Daumen nach oben geben, da steht das ist nur für bestimmte Mitglieder verfügbar...