Koordinatenvektoren bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems des E^3.

Question

u =  2               v = -1

       -1                      2

        3                       1

 

Berechnen Sie das Kreuzprodukt [u,v] der durch u und v bestimmten Vektoren u,v ∈ V³₀ .

Answer 1

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b des R³ wird so berechnet:

$$\vec { a } \times \vec { b } =\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } \\ a_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} { b }_{ 1 } \\ b_{ 2 } \\ { b }_{ 3 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }-{ a }_{ 3 }{ b }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 }b_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ b }_{ 3 } \\ { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 } \end{pmatrix}$$Also ergibt sich in deinem Beispiel:$$\vec { u } \times\vec { v } =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { (-1)*1 }-3*2 \\ { 3*(-1)- }2*1 \\ { 2*2 }-{ (-1)*(-1) } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$$