Herleitung von zwei Grenzwerte erklären

Question

Kann mir jemand die Herleitung dieser beiden Grenzwerte erklären?

1.)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2 n}=\frac{1}{e^{2}} \)

2.)

\( \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{x^{3}-a^{3}}{x-a}=3 a^{2} \)

Answer 1

$$\text{2.) }\lim_{x\to a}\frac{x^3-a^3}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(x^2+ax+a^2)(x-a)}{x-a}=\lim_{x\to a}(x^2+ax+a^2)$$$$=a^2+a\cdot a+a^2=3a^2.$$

Answer 2

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty } (1- \frac{1}{n+1} )^{2n} &= \lim_{x \to \infty } (1- \frac{1}{n} )^{2n-2} \newline &= \lim_{x \to \infty } ( (1- \frac{1}{n} )^{n})^2\cdot  \lim_{x \to \infty } (1- \frac{1}{n} )^{-2}\newline &= e^{-2} \end{aligned}$$

Die erste Gleichheit ist eine Indexverschiebung auf n-1, beim zweiten Auseinderziehen in ein Produkt konvergenter Folgen und schlußendlich Anwenden der Defintion der Exponentialfunktion.

Es ist $$\frac{x^3-a^3}{x-a} =x^2+ax+a^2$$ (Beweis mittels Polynomdivision oder über geom. Summenformel).

Damit also nur noch a für x einsetzen und das Ergebnis steht da.