Die Menge aller reellen Zahlen x Bestimmen, die die folgenden Bedingungen erfüllen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils die Menge aller reellen Zahlen x, die die folgenden Bedingungen erfüllen. Wie lässt sich diese anhand einer Abstandsdeutung auf der Zahlengerade ohne Rechnung direkt angeben (das genügt)?
a) |x−5|=|3+x|

b) |x−5|≥|3+x|

Kann mir jemand dabei helfen diese Betragsgleich zu lösen?

Comments

Weiß du auch wie das ganze für diese Ungleichung aussehen würde?

|x−5|≥|3+x|

Answer 1

a) Lösung Betragsgleichung

|x−5|=|3+x|   |^2

(x-5)^2  =  (3+x)^2

x^2-10x+25=9+6x+x^2

-10x+25=9+6x

x=1

Probe:|1-5|=|3+1|

4=4

mfG

Moliets

Comments

Vielen Dank! Ich hatte den Ansatz den Betrag mit der Fall Unterscheidung zu lösen aber irgendwie hat es nicht geklappt?

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Weiß du auch wie das ganze für diese Ungleichung aussehen würde?

|x−5|≥|3+x|

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Lösung mittels Fallunterscheidung:

| x − 5 | = | 3 + x |

1. Fall

x-5≥0 → x>=5    und 3+x≥0→x≥ -3

x − 5 = 3 + x →  k.L.

2. Fall

x-5≥0 → x>=5    und 3+x<0→x<-3

x − 5 = - 3 - x → x = 1

Probe: | 1 − 5 | = | 3 + 1 | stimmt

3. Fall

x-5<0→ x<5 und 3+x≥0→x>= -3

-x + 5= 3+x→ x = 1 (wie 2. Fall) 

4. Fall

x-5<0→ x<5  und 3+x<0→x<-3

-x + 5= - 3 - x→ wie 1.Fall

Gesamtlösung:

x=1

mfG

Moliets

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Lösung mittels Fallunterscheidung:

| x − 5 | ≥  | 3  + x |

Hier kann ich dir leider nicht helfen.

mfG

Moliets

Answer 2

Hallo,

Überlege zunächst, was allgemein der Ausdruck \(|x-a|=d\) besagt. Das sind doch genau die beiden \(x\)-Werte, die von \(a\) den Abstand \(d\) haben.

Demnach ist \(|3+x|\), was das gleiche ist wie \(|x-(-3)|\), der Abstand von \(x\) zu \(-3\). Und wenn dieser genauso groß ist wie der Abstand zu \(5\), so muss das \(x\) genau in der Mitte zwischen \(-3\) und \(5\) liegen:

 

b) kann man umformen zu \(|x-5| \ge |x - (-3)|\), heißt doch, dass \(x\) von \(5\) gleich oder weiter weg sein soll, wie von \(-3\). Also:

 

alles, was links von der \(1\) liegt, einschließlich der \(1\), erfüllt diese Bedingung.