Question

Untersuche die Reihe auf Konvergenz.

$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}k2^{-k}$$

Mein Ansatz: (Wurzelkriterium)

$$\sqrt[k]{k2^{-k}}=(k2^{-k})^{\frac{1}{k}}=k2^{-\frac{k}{k}}=k2^{-1}$$

Comments

Hallo,

Du hast einen Fehler gemacht: \(\sqrt[k]{k} \neq k\). Wenn Du das korrigiert hast, brauchst Du die Info \(\sqrt[k]{k}  \to 1\).

Einfacher wäre aber ohnehin das Quotientenkriterium.

Gruß

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Danke für die Antwort. Kannst du mir das genauer erklären, wie genau und wo ich den Fehler gemacht habe?

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Ich dachte, das hätte ich getan. Vielleicht kannst Du mir erklären, wie Du nach dem 2. Gleichheitszeichen das k erhältst.

Vielleicht geht es um eine Regel für \((xy)^s=?\)

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-k/1*1/k so komme ich auf k/k

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$$(k 2^{-k})^{\frac{1}{k}} = (k)^{\frac{1}{k}} (2^{-k})^{\frac{1}{k}}$$

$$k^{\frac{1}{k}} \neq k \cdot \frac{1}{k}$$

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Jetzt habe ich es verstanden, habe da etwas vertauscht.

Answer 1

$$\sqrt[k]{k2^{-k}}=(k2^{-k})^{\frac{1}{k}}=k2^{-\frac{k}{k}}=k2^{-1}$$

Der Fehler liegt  im 2. Schritt es müsste heißen

$$\sqrt[k]{k2^{-k}}=(k2^{-k})^{\frac{1}{k}}=k^{\frac{1}{k}}*2^{-\frac{k}{k}}=k^{\frac{1}{k}}2^{-1}$$

Und k^(1/k) geht für k gegen unendlich selber gegen 1 und das mal 1/2 gibt also Grenzwert 0,5 < 1.

==>  Reihe ist konvergent.

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Vielen Dank, dafür! :)