Aufgabe zu Zufluss- und Abflussrate

Question

Aufgabe:

In den kugelförmigen Behälter einer Industriefabrik wird eine Flüssigkeit gefüllt und nach einiger Zeit wieder herausgelassen. Für die Zulaufgeschwindigkeit v gilt näherungsweise v (t) =  4t^3-30t^2+48t (t in Stunden; v (t) in m^3/h)

a. In welchem Zeitraum ist die Zulaufgeschwindigkeit positiv und in welchem negativ?

b. Wieso beschreibt die Funktion v die Zulaufgeschwindigkeit nur etwa in den ersten 5 Stunden nach Messbeginn sinnvoll und warum kann man mithilfe von v keine sinnvolle Aussage über die Zulaufgeschwindigkeit nach z.B. 11 Stunden machen?

c. Bestimme den Zeitraum in dem die Abflussgeschwindigkeit größer als 18m^3/h ist

Kann mir vielleicht einer helfen? Ich bin leider komplett aus dem Thema raus aber machen das jetzt als Wiederholung.

Answer 1

v ( t ) = 4*t^3 - 30*t^2 + 48*t
v ( 0 ) = 0
zwischen 0 .. 2.31 positiv
v ( 2.31 ) = 0
zwischen 2.31 .. 5.19 negativ

Falls der Behälter vor der Befüllung leer war
kann nur soviel herauslaufen wie befüllt wurde
Zulauf = 2.31 m^3
Abfluß 2.31 bis 5.19 = 2.88 m^3
Also nicht möglich.
2.88 minus 2.31 = 0.57 m^3 sind zum Abfluß nicht
mehr vorhanden.
Die Abflussgeschwindigkeitsfunktion kann dann
nicht mehr stimmen.

c.) f ( t ) > 18 m^3/h
kann nur mit z.B dem Newtonverfahren genau
berechnet werden.
ca 1/2 bis 1.5 std

Comments

Danke schonmal, aber wie genau komme ich auf die 2,31 und 5,19?

---

wann îst weder zu- noch ablauf ?
bei v = 0

v ( t ) = 4*t^3 - 30*t2 + 48*t = 0
4*t^3 - 30*t2 + 48*t = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
t * ( 4*t^2 - 30*t + 48 ) = 0
t = 0
und
4*t^2 - 30*t + 48 = 0
lösen mit Mitternachtsformel, pq-Formel
oder qudratischer Ergänzung

t = 2.31 std
und
t = 5.19 std

Frag nach bis alles klar ist.

---

Okay danke, das habe ich verstanden. Auch die b ist soweit klar, nur bei der c weiß ich immer noch nicht den genauen Rechenweg. Hättest du da noch eine Formel für mich?

---

Ein kleiner Fehler ist bei mir vorhanden
Nicht
c.) f ( t ) > 18 m^3/h
Sondern
c.)  abflussrate
f ( t ) kleiner - 18 m^3/h
( alles unterhalb der roten Geraden )
Es bleibt aber dabei : kann nur mit z.B
dem Newtonverfahren genau berechnet
werden. Dies ist keine Formel sondern eine
komplizierte Berechnung.
Zu Fuß kaum durchzuführen.

mfg Georg

Answer 2

Entnimm die Lösungen der folgenden Darstellung:

Comments

Abgelesene Werte dürfte als Antwort nicht genügen. :)

Answer 3

v'(t) = 12t^2-60t+48

v'(t)= 0

t^2-5t+4=0

(t-1)(t-4)=0

t1=1. t2=4

v''(t) = 24t-60

v''(1)= - 36 -> Maximum

v''(4)= 36 → Minimum

b) v(t) geht gegen unendlich

c) v(t) = 18

4t^3-30t^2+48t=18

t^3-7,5t^2+12t-4,5=0

Löse mit einem Näherungsverfahren!

Comments

Halo Andreas,
Irgendetwas stimmt bei dir gar nicht,
v ´ wäre die Beschleunigungsfunktion
v ist die Geschwindigkeitsfunktion