Lineare Transformation einer Stichprobe

Question

Aufgabe: gegeben sei eine stichprobe x_1,....,x_n mit dem mittelwert 10 und varianz 25. Schlagen Sie eine lineare Transformation x'= α·x+β vor, so dass der Mittelwert x¯ ' der transformierten Stichprobe gleich 0 und ihre Varianz s'² =1 ist.

Problem/Ansatz: Ich habe diese Aufgabe gestellt bekommen, allerdings habe ich keine Ahnung wie ich das lösen soll. Im Internet und in Büchern wurde ich auch nicht fündig. Eine Erklärung und Tipps wie ich hier vorangehen könnte wäre sehr hilfreich

Answer 1

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!902:Varianz_und_Standardabweichung

und

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Mittel

Mit diesen beiden Gleichungen und dem zu erreichenden Mittelwert und der zu erreihenden Varianz gibt es zwei Glaichungen mit zwei Unbekannten die gelöst werden müssen.

Answer 2

Aloha :)

Wenn du den Mittelwert \(\overline x\) von allen Werte \(x_i\) subtrahierst, haben die neuen Werte \((x_i-\overline x)\) den Mittelwert \(0\). Wenn du diese Differenzen zusätzlich noch "normierst", indem du sie durch die Standardabweichung \(\sigma\) dividierst, bekommst du eine Zufallsvariable mit Mittelwert \(0\) und Standardabweichung \(1\) bzw. Varianz \(1\):$$z_i\,:\!=\frac{x_i-\overline x}{\sigma}=\frac{x_i-10}{5}$$Mehr dazu findest du unter dem Stichwort "\(z\)-Transformation".

Comments

danke für Deine Antwort:)

Könntest du mir das vielleicht ein bisschen genauer erklären? Und was ist denn bei x'= α·x+β  bzw. wie könnte ich da auf etwas kommen?

---

$$ (1) \quad 0 = \mathbb{E}(x') = \alpha \mathbb{E}(x') + \beta = 10 \alpha + \beta $$

$$ (2) \quad 1 = \mathbb{V}(x') = \alpha^2 \mathbb{V}(x) = 25 \alpha^2  $$

Aus (2) folgt \( \alpha = \frac{1}{5} \) und damit aus (1), \(  \beta = -2 \)

---

ullim hat das ja bereits beantwortet. Du musst die Gleichung für \(z\) einfach nur anders schreiben:$$z_i=\frac{x_i-10}{5}=\frac{x_i}{5}-\frac{10}{5}=\underbrace{\frac{1}{5}}_{=\alpha}x_i-\underbrace{2}_{=\beta}$$