Bestimmen Sie die Seitenlängen der Schachtel so, dass die Schachtel ein maximales Volumen aufweist.

Question

Hallo Leute! Ich brauche dringend eure Hilfe bei diesen Aufgaben. Hoffentlich könnt ihr mir helfen! Ich bedanke mich schonmal im voraus!

Die Aufgabe:

Aufgabe Schachtelvolumen

Aus einem Kartonbogen mit den Abmessungen 10cm * 10cm soll eine Schachtel mit quadratischer Grundfläche gefaltet werden. Bestimmen Sie die Seitenlängen der Schachtel so, dass die Schachtel ein maximales Volumen aufweist. Die Abbildung rechts verdeutlicht den Sachverhalt.

Tipp: die Schachtel hat eine quadratische Grundfläche. Wenn man das berücksichtigt, vereinfacht sich die Rechnung.

1) Formulierung der Hauptbedingung, hier muss man eine Formel für das Volumen aufstellen.

2) Formulierung der Nebenbedingung, hier muss man eine Formeln für die Höhe der Schachtel und ihre Grundseite bzw. Grundfläche aufstellen. Im Text ist a, die Abmessung des Kartonbogens, gegeben.

3) Eliminieren deiner Variablen, indem man die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzt. So erhält man die Zielfunktion.

4) Definitionsbereich: Wie lang bzw. kurz kann die Seite der Schachtel werden.

5) Extremstelle berechnen -> XE

6) Extremwert berechnen f(XE)

Darauf achten, dass es kein Randextrema gibt.

7) Antwortsatz

Answer 1

1) Formulierung der Hauptbedingung, hier muss man eine Formel für das Volumen aufstellen.

V =  Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge x, welches

in der Mitte des Kartonbogens liegt

und die Höhe ( wenn man die Reststücke des Kartonbogens nach oben klappt ) ist h

Also V(x)= x^2 * h

2) Formulierung der Nebenbedingung, hier muss man eine Formeln für die Höhe der Schachtel und ihre Grundseite bzw. Grundfläche aufstellen. Im Text ist a, die Abmessung des Kartonbogens, gegeben.

               ==>  h =  (10-x) / 2

3) Eliminieren deiner Variablen, indem man die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzt. So erhält man die Zielfunktion.
                           f(x) ) x^2 *(10-x) / 2   = ( 10x^2 - x^3 ) / 2
4) Definitionsbereich: Wie lang bzw. kurz kann die Seite der Schachtel werden.

    höchstens 10 cm also  Bedingung 0 < x < 10 

5) Extremstelle berechnen -> XE  f ' (x) = (  20x - 3x^2 ) / 2

                    f ' (x_E) = 0    ==>    x_E= 0 oder  x_E = 20/3

                   0 nicht im Definitionsbereich    f ' ' ( 20/3 )  = -10 < 0 also hier ein rel. Max.

6) Extremwert berechnen f(XE) = 2000/27 ≈ 74,07

Darauf achten, dass es kein Randextrema gibt.  An den Rändern ist das Volumen 0, also keine

Randmaxima.

7) Antwortsatz: Für ein Quadrat mit der Seitenlänge 20/3 cm als Grundfläche entsteht die

maximale Schachtel mit der Höhe 5/3 cm . Sie hat das Volumen 2000/27 cm^3.

Answer 2

Hallo

a) Volumen V= G*h kannst du hoffentlich

b) aus den Seiten werden Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten  dann ist die Höhe der Schachtel ? und die Grundfläche ? kontrolliere an Hand der Zeichnung

c) wieviel, kann man höchstens pro Seite abschneiden? wie wenig

d) V(x) ableiten

e ) Rand also die x von c) einsetzen

f) Ergebnis als Satz

(Kontrolle x=5/3cm)