Extremwertaufgabe, Fläche/Umfang eines Vierecks & Funktionswert am nächsten an einen Punkt

Question

1. Eine Kurve wird durch \( f(x)=-2 x+2 \) beschrieben. Finden Sie den Punkt oder die Punkte der Kurve, die dem Punkt \( (-1,-1) \) am nächsten sind.

2. Für welchen Wert von \( x \geq 0 \) hat das Rechteck mit den Ecken:

\( (0,0) ;(\mathrm{x}, 0) ;\left(x, 1 /\left(1+x^{2}\right)\right) ;\left(0,1 /\left(1+x^{2}\right)\right) \)

a. den größtmöglichen Flächeninhalt

b. den kleinstmöglichen Umfang

Hinweis: Aufgabe entnommen aus James Stewart, Calculus, Brooks/Cole 2003

Ich bräuchte Lösungansätze für die Aufgaben, hier meine Überlegungen :

1. keine Ahnung

2a. Fläche eines Rechtecks ist a*b, also unser a ist 1/(1+x²) und unser b dann x.

f(x) = (1/(1+x²)) * x , davon die Ableitung und Hochpunkt bestimmen ?

2b. Umfang = 2a + 2b

f(x) = 2* (1/(1+x²)) + 2x, davon wieder die Ableitung und den Tiefpunkt bestimmen ?

Comments

Hier schon einmal ein erster Tipp zu

" 2a. Fläche eines Rechtecks ist a*b, also unser a ist 1/(1+x²) und unser b dann x.
f(x) = (1/(1+x²)) * x , davon die Ableitung und Hochpunkt bestimmen ? " Richtig.

f(x) = x / (1+x²) l Quotientenregel beim differenzieren anwenden
f ( x )´ = [ 1 * ( 1 + x^2 ) - ( x * 2*x ) ] / ( 1+x^2)^2
f ( x )´ = [ 1 + x^2 - 2*x ^2 ) ] / ( 1+x^2)^2
f ( x )´ = ( 1 - x^2 ) / ( 1+x^2)^2 l ist null wenn der Zähler null ist = Extrempunkt
1 - x^2 = 0
x^2 = 1
x = ± 1

Für : x = 1 l Hoch oder Tiefpunkt ?
Monotonie > 0 : f ( x )´ > 0 l der Nenner ist ein Quadrat deshalb immer postiv, also
Zähler > 0
1 - x^2 > 0
x^2 < 1
-1 < x < 1
zwischen -1 und 1 steigend, dann fallend, also
x = 1 ist ein Hochpunkt mit größtmöglichem Flächeninhalt

mfg Georg

Answer 1

Ich habe die erste Aufgabe bereits unter https://docs.google.com/document/d/1WP0S4w1oePOAufc655zDzEwbDNzq5Lc6ORWhcdWYQnU/pub (siehe unten).

beantwortet. Bei Aufgabe 2 ist die Skizze falsch. Das Rechteck beginnt doch nicht bei x = -1 sondern bei x = 0.

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Extremwertaufgabe: f(x) = - 2·x + 2

 

1. Eine Kurve wird durch f(x) = - 2·x + 2 beschrieben. Finden Sie den Punkt oder die Punkte der Kurve, die dem Punkt P(-1, -1) am nächsten sind.

 

d^2 = (x - (-1))^2 + (f(x) - (-1))^2

d^2 = (x + 1)^2 + (- 2·x + 3)^2

d^2 = x^2 + 2·x + 1 + 4·x^2 - 12·x + 9

d^2 = 5·x^2 - 10·x + 10

d^2' = 10·x - 10 = 0

x = 1

 

f(1) = - 2·1 + 2 = 0

 

Der Punkt (1, 0) ist dem Punkt P am nächsten.

 

2. Für welchen Wert von x ≥ 0 hat das Rechteck mit den Ecken:

(0, 0), (x, 0), (x, 1/(1 + x^2)), (0, 1/(1 + x^2))

 

 

a) den größtmöglichen Flächeninhalt

 

A = x · 1/(1 + x^2) = x/(x^2 + 1)

A' = (1 - x^2)/(x^2 + 1)^2 = 0

1 - x^2 = 0

x = 1 [und x = -1]

 

b) den kleinstmöglichen Umfang

 

U = 2·x + 2·1/(1 + x^2) = 2·x + 2/(x^2 + 1)

U' = 2 - 4·x/(x^2 + 1)^2 = 0

 

Hier gibt es keine reelle Lösung.

Der Umfang ist am Rand für x = 0 am kleinsten.

Answer 2

zu 1)

Bei der speziellen Kurve f ( x ) = - 2 x + 2 ist die Sache recht einfach, denn dabei handelt es sich um eine Gerade, und auf einer solchen gibt es nur genau einen Punkt, der einem anderen gegebenen Punkt, der nicht auf der Gerade liegt, am nächsten ist. Dies ist derjenige Punkt der Geraden, durch den eine Senkrechte zur Geraden läuft, die auch durch den gegebenen Punkt läuft.

Die Senkrechte zu einer Geraden g hat die Steigung

m = -1 / m_g

wobei m_g die Steigung der Geraden ist. Diese kann man vorliegend aus der Geradengleichung ablesen:

m_g = - 2 

Also hat die Senkrechte zu g die Steigung

m = - 1 / - 2 = 1 / 2

Gesucht ist nun also eine Gerade mit der Steigung m = 1 / 2 , die durch den Punkt ( - 1 | - 1 ). Der Punkt muss also die Geradengleichung

- 1 = ( 1 / 2 ) * ( - 1 ) + b = - ( 1 / 2 ) + b

erfüllen. Daraus kann man den y-Achsenabschnitt b der Senkrechten bestimmen:

b = - 1 + ( 1 / 2 ) = ( - ( 1 / 2 )

Also lautet die Gleichung der Senkrechten zu g, die durch den Punkt ( - 1 | - 1 ) läuft:

s ( x ) = ( 1 / 2 ) x - ( 1 / 2 )

Nun muss noch der Schnittpunkt von g und s bestimmt werden, also Gleichsetzen der Funktionsterme

- 2 x + 2 = ( 1 / 2 ) x - ( 1 / 2 )

<=> - 2,5 x = - 2, 5

<=> x = 1

Das ist die x-Koordinate des gesuchten Punktes. Seine y-Koordinate findet man urch Einsetzen de x-Koordinate in eine beliebige der beiden Gleichungen g oder s, ich nehme g:

y = - 2 * 1 + 2 = 0

Also: Der Punkt ( 1 | 0 ) liegt auf der Geraden g und hat von allen Punkten der Geraden g den kürzesten Abstang zum Punkt ( - 1 | - 1 ).

 

Die Ansätze für die anderen Aufgaben sehen gut aus.