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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) gilt: $$f(x_0)\pm \varepsilon = f\left(\frac{x_0\pm\varepsilon}{f'(x_0)}\right)$$


Problem/Ansatz:

Dachte erst ich könnte das durch Umformung der rechten Seite zeigen, aber irgendwie kommt am Ende etwas der Art $$f(x_0 \pm\varepsilon) = f(x_0)\pm \varepsilon $$ dabei raus. Keine Ahnung ob das überhaupt ansatzweise richtig ist, gefühlt nämlich nicht.

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Die Aussage gilt offensichtlich nicht, wie du leicht durch

        f(x) = 2x, x0≠0

herausfinden kannst.

Entschuldige habe die Frage noch ergänzt - die o.g. Aussage gilt für \(\varepsilon \to 0\)

Wenn die Funktion nur als stetig bekannt ist, wird es

sowas wie f ' ( xo ) nicht unbedingt geben.

Wenn \( \epsilon = 0\) gilt, dann soll auch $$ f(x_0) = f \left(  \frac{ x_0 } { f'(x_0) } \right) $$ gelten, was für \( f(x) = 2x \), \( x \ne 0 \) nachweislich falsch ist. Denn das würde bedeuten

$$  2 x_0 = x_0 $$

Zumindest für viele Werte von xo ist das falsch.

Gerade gesehen, dass die Aufgabenstellung falsch aufgeschrieben wurde es geht um diese Äquivalenz:

Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) gilt: $$f(x_0)\pm\varepsilon = f(x_0\pm\frac{\varepsilon}{f\prime(x_0)})$$ wenn \(\varepsilon\to 0\)

Das ist keine Äquivalenz, das ist eine Implikation.

1 Antwort

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Beste Antwort

Taylorentwicklung 1. Ordnung ergibt

$$  f \left( x_0 \pm \frac{ \epsilon }{ f'(x_0) } \right) \approx f(x_0) \pm f'(x_0) \frac{ \epsilon }{ f'(x_0) } $$

Allerdings muss die Funktion nicht nur stetig sein, sondern auch differenzierbar in \( x_0 \) und es muss gelten \( f(x_0) \ne 0 \)

Avatar von 39 k

Ja, komplett richtig. Hätte noch eine Frage: Wie kommt man darauf eine Taylorentwicklung zu machen?

Immer wenn man eine Funktion der Form \( f(x \pm \Delta) \) näherungsweise berechnen soll, kommt Taylorreihe in Frage. Bei Dir ist \( \Delta = \frac{ \epsilon } { f'(x_0) } \)

Danke dir vielmals! Merke ich mir.

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