Vielleicht kann man das so machen.
1.) Wegen 0=f(0)=f(x−x)=f(x)+f(−x) folgt f(−x)=−f(x)
2.) Und es gilt f(x−y)=f(x+(−y))=f(x)+f(−y)=f(x)−f(y)
3.) Da f in x=0 steitg ist gilt, zu jedem ε ex. δ mit ∣f(x)−f(0)∣<ε wenn ∣x−0∣=∣x∣<δ
Jetzt zur Stetigkeit von f. Es ist zu zeigen, zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0 mit ∣f(x)−f(x0)∣<ε falls ∣x−x0∣<δ
Wegen der Stetigkeit von f in 0 gibt es ein δ>0 s.d. für jedes ε>0 ∣f(x−x0)−f(0)∣<ε falls ∣x−x0∣<δ
Wegen f(x)−f(x0)=f(x−x0) folgt die Stetigkeit.