Folgerung aus Stetigkeit zu 0 mit f(x + y) = f(x) + f(y)

Question

Aufgabe:

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ stetig in $0 .$ Weiter sei $f(0)=0$ und $f(x+y)=f(x)+f(y)$ für alle $x, y \in \mathbb{R} .$ Zeigen Sie, dass $f$ auf ganz $\mathbb{R}$ stetig ist.

Mein Ansatz wäre, dass man von x und y eine Variable auf 0 setzt und der andere Variable einen beliebigen Wert aus den rationalen Zahlen zuordnen kann. Dadurch müsste f auch für jede beliebige rationale Zahl stetig sein, da f(x+y) = f(x) + f(y). Ich bin mir jedoch nicht sicher ob man so argumentieren kann und wie man das formell aufschreiben kann.

Answer 1

Vielleicht kann man das so machen.

1.) Wegen $$0 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) \text{ folgt } f(-x) = -f(x)$$

2.) Und es gilt $$f(x-y) = f(x + (-y)) = f(x)+f(-y) = f(x)-f(y)$$

3.) Da $f$ in $x = 0$ steitg ist gilt, zu jedem $\varepsilon$ ex. $\delta$ mit $|f(x)-f(0)| < \varepsilon$ wenn $|x-0|=|x| < \delta$

Jetzt zur Stetigkeit von $f$. Es ist zu zeigen, zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$ mit $$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \text{ falls } | x - x_0 | < \delta$$

Wegen der Stetigkeit von $f$ in $0$ gibt es ein $\delta > 0$ s.d. für jedes $\varepsilon > 0$ $$| f(x-x_0) -f(0) | < \varepsilon$$ falls $|x-x_0| < \delta$

Wegen $f(x) - f(x_0) = f(x-x_0)$ folgt die Stetigkeit.

Comments

Vielen Dank, hat mir sehr geholfen :)

Answer 2

Aus den Zusatzbedingungen kannst du Folgendes schließen:

$$0 = f(0) = f(x-x) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)$$ und dies impliziert:

$$f(x) = -f(x).$$

Anschließend solltest du dir überlegen, wie du das Nutzen kannst, um das Epsilon-Delta-Kriterium benutzen kannst.