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Aufgabe:

Sei f : RR f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} stetig in 0. 0 . Weiter sei f(0)=0 f(0)=0 und f(x+y)=f(x)+f(y) f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x,yR. x, y \in \mathbb{R} . Zeigen Sie, dass f f auf ganz R \mathbb{R} stetig ist.


Mein Ansatz wäre, dass man von x und y eine Variable auf 0 setzt und der andere Variable einen beliebigen Wert aus den rationalen Zahlen zuordnen kann. Dadurch müsste f auch für jede beliebige rationale Zahl stetig sein, da f(x+y) = f(x) + f(y). Ich bin mir jedoch nicht sicher ob man so argumentieren kann und wie man das formell aufschreiben kann.

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Vielleicht kann man das so machen.

1.) Wegen 0=f(0)=f(xx)=f(x)+f(x) folgt f(x)=f(x) 0 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) \text{ folgt } f(-x) = -f(x)

2.) Und es gilt f(xy)=f(x+(y))=f(x)+f(y)=f(x)f(y) f(x-y) = f(x + (-y)) = f(x)+f(-y) = f(x)-f(y)

3.) Da f f in x=0 x = 0 steitg ist gilt, zu jedem ε \varepsilon ex. δ \delta mit f(x)f(0)<ε |f(x)-f(0)| < \varepsilon wenn x0=x<δ |x-0|=|x| < \delta


Jetzt zur Stetigkeit von f f . Es ist zu zeigen, zu jedem ε>0 \varepsilon > 0 gibt es ein δ>0 \delta > 0 mit f(x)f(x0)<ε falls xx0<δ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \text{ falls } | x - x_0 | < \delta

Wegen der Stetigkeit von f f in 0 0 gibt es ein δ>0 \delta > 0 s.d. für jedes ε>0 \varepsilon > 0 f(xx0)f(0)<ε | f(x-x_0) -f(0) | < \varepsilon falls xx0<δ |x-x_0| < \delta

Wegen f(x)f(x0)=f(xx0) f(x) - f(x_0) = f(x-x_0) folgt die Stetigkeit.

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Vielen Dank, hat mir sehr geholfen :)

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Aus den Zusatzbedingungen kannst du Folgendes schließen:

0=f(0)=f(xx)=f(x+(x))=f(x)+f(x)0 = f(0) = f(x-x) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) und dies impliziert:

f(x)=f(x).f(x) = -f(x).

Anschließend solltest du dir überlegen, wie du das Nutzen kannst, um das Epsilon-Delta-Kriterium benutzen kannst.

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