Folgerung für stetige Funktionen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) gilt: $$f(x_0)\pm \varepsilon = f\left(\frac{x_0\pm\varepsilon}{f'(x_0)}\right)$$

Problem/Ansatz:

Dachte erst ich könnte das durch Umformung der rechten Seite zeigen, aber irgendwie kommt am Ende etwas der Art $$f(x_0 \pm\varepsilon) = f(x_0)\pm \varepsilon $$ dabei raus. Keine Ahnung ob das überhaupt ansatzweise richtig ist, gefühlt nämlich nicht.

Comments

Die Aussage gilt offensichtlich nicht, wie du leicht durch

        f(x) = 2x, x₀≠0

herausfinden kannst.

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Entschuldige habe die Frage noch ergänzt - die o.g. Aussage gilt für \(\varepsilon \to 0\)

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Wenn die Funktion nur als stetig bekannt ist, wird es

sowas wie f ' ( x_o ) nicht unbedingt geben.

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Wenn \( \epsilon = 0\) gilt, dann soll auch $$ f(x_0) = f \left(  \frac{ x_0 } { f'(x_0) } \right) $$ gelten, was für \( f(x) = 2x \), \( x \ne 0 \) nachweislich falsch ist. Denn das würde bedeuten

$$  2 x_0 = x_0 $$

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Zumindest für viele Werte von xo ist das falsch.

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Gerade gesehen, dass die Aufgabenstellung falsch aufgeschrieben wurde es geht um diese Äquivalenz:

Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) gilt: $$f(x_0)\pm\varepsilon = f(x_0\pm\frac{\varepsilon}{f\prime(x_0)})$$ wenn \(\varepsilon\to 0\)

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Das ist keine Äquivalenz, das ist eine Implikation.

Answer 1

Taylorentwicklung 1. Ordnung ergibt

$$  f \left( x_0 \pm \frac{ \epsilon }{ f'(x_0) } \right) \approx f(x_0) \pm f'(x_0) \frac{ \epsilon }{ f'(x_0) } $$

Allerdings muss die Funktion nicht nur stetig sein, sondern auch differenzierbar in \( x_0 \) und es muss gelten \( f(x_0) \ne 0 \)

Comments

Ja, komplett richtig. Hätte noch eine Frage: Wie kommt man darauf eine Taylorentwicklung zu machen?

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Immer wenn man eine Funktion der Form \( f(x \pm \Delta) \) näherungsweise berechnen soll, kommt Taylorreihe in Frage. Bei Dir ist \( \Delta = \frac{ \epsilon } { f'(x_0) } \)

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Danke dir vielmals! Merke ich mir.