Produkt zweier nxn-Matrizen, wenn man diese nur addieren, quadrieren und mit Skalaren multiplizieren darf

Question

Wie erhält man das Produkt zweier nxn-Matrizen, wenn man diese nur addieren, quadrieren und mit Skalaren multiplizieren darf?

Mein Ansatz wäre sozusagen das Äquivalent der 1. binomischen Formel, von dem man dann noch die jeweiligen Quadrate subtrahiert (doch da die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist, kann das wohl nicht sein). Für zwei nxn-Matrizen A, B sähe das jedenfalls so aus:

(A + B)² - (A² + B²) = AB + BA

Allerdings fällt mir nicht ein, wie ich diese Summe aufspalten könnte. Im glücklichen Fall, dass AB = BA ist, kann man sie halbieren, aber ansonsten weiß ich nicht weiter.

Ich würde mich über Vorschläge freuen, vielen Dank bereits im Voraus :)

Comments

Damit hast du doch den Beweis gefunden, dass die Aufgabe unlösbar ist.

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Das wäre natürlich eine Möglichkeit, aber ich bezweifle, dass das so beabsichtigt ist. Es kann ja auch sein, dass mein Ansatz falsch ist, und es bestimmte Regeln zur Mulplikation von Matrizen gibt, die mir entweder nicht einfallen oder ich nicht kenne. Dennoch vielen Dank für die schnelle Antwort!

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Mein Gedanke (dass mämlich das Quadrieren und die Skalarmultiplikation "kommutativ" sind und auch für die Addition A+B = B+A gilt und dass deshalb nichts erzeugt werden könne was nicht kommutativ ist) ist Käse, weil ja die Operation ☼ mit A☼B = 3A+2B erzeugt werden kann, die offenbar nicht kommutativ ist.

Answer 1

Nimm \( \frac{1}{2} \) [(A+B)² - A² - B²]................

Comments

Da der Matrizenring nicht kommutativ bzgl. der Multiplikation ist, würde dieser Vorschlag auf \( \frac{1}{2} \)(AB + BA) hinauslaufen, was eben nur für AB = BA tatsächlich AB wäre.

Trotzdem vielen Dank!