Wie beweist man, \sqrt{2} in der Reihendarstellung?

Question

Aufgabe:

Wie beweist man, dass \( \sqrt{2} \)=\( \frac{7}{5} \)(1+\( \frac{1}{100} \)+\( \frac{1*3}{100*200} \)+\( \frac{1*3*5}{100*200*300}+... \)?

Problem/Ansatz:

Ein Tipp dazu war, dass man 50=2*5^2 verwenden soll und die Reihe (1-x)^(-\( \frac{1}{2} \)) mit einem geeigneten x wählen soll.

Leider komme ich nicht ganz hinter den Beweis und habe erst wirklich sehr wenig. Ich habe nur:

\( \sqrt{2} \)=2^(\( \frac{1}{2} \))

und ich vermute dass ich als nächstes den Tipp mit der Reihe nutzen muss, aber ich weiß nicht so recht, wie ich die 2 unter der Wurzel umschreiben kann in der Form (1-x)^(-\( \frac{1}{2} \))

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!

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Vom Duplikat:

Titel: Welchen Satz muss man bei der Reihendarstellung von √2 verwenden um auf das gesuchte Ergebnis zu kommen?

Stichworte: wurzel,binomischer-lehrsatz,reihen,potenzen

Aufgabe:

Wie beweist man, dass \( \sqrt{2} \)=\( \frac{7}{5} \)(1+\( \frac{1}{100} \)+\( \frac{1*3}{100*200} \)+\( \frac{1*3*5}{100*200*300}+... \)?

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt noch versucht den allgemeinen binomischen Lehrsatz anzuwenden, allerdings erhalte ich eine andere Reihendarstellung, nämlich: 1+\( \frac{1}{4} \)-\( \frac{1}{16} \), was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Der Tipp suggeriert, dass \( \sqrt{2} \)=\( \sqrt{\frac{1}{1-x}} \) gesetzt werden soll.

Damit müsst für x der Wert 0,5 verwendet werden.

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Alles klar vielen Dank dafür! Ich habe jetzt noch versucht den allgemeinen binomischen Lehrsatz anzuwenden, allerdings erhalte ich eine andere Reihendarstellung, nämlich: 1+\( \frac{1}{4} \)-\( \frac{1}{16} \), was habe ich falsch gemacht?