Zeige, dass 6 der minimale Wert des Terms (1+9x4)/(x2) ist (ohne differenzieren).

Question

Aufgabe:

Zeige, dass 6 der minimale Wert des Terms (1+9x⁴)/(x²) ist (ohne differenzieren).

Problem/Ansatz:

Ich hatte zunächst vor den Wert für den der Term 6 wird plus eine Variable a einzusetzen und hatte dann gehofft, dass der Term für a≠0 offensichtlich größer als 6 wird. Das ist aber nicht so offensichtlich. Hat jemand eine andere Idee? Vielen Dank!!!

Answer 1

(1 + 9·x^4)/x^2 = 6

1 + 9·x^4 = 6·x^2

9·x^4 - 6·x^2 + 1 = 0

9·z^2 - 6·z + 1 = 0

D = b^2 - 4·a·c = (-6)^2 - 4·(9)·(1) = 0

Da die Diskriminante 0 ist, ist an der Stelle 6 nur ein Berührpunkt und damit der niedrigste Wert.

Answer 2

Standardungleichung: Für alle positiven a gilt a+1/a ≥2, wobei die Gleichheit für a=1 gilt.

\( \frac{ 1+9x^4}{x^2} \) lässt sich schreiben als \( \frac{1}{x^2} +9x^2\) = \(3(\frac{1}{3x^2} +\frac{3x^2}{1})\) .

Der Faktor \((\frac{1}{3x^2} +\frac{3x^2}{1})\) ist gemäß obiger Standardungleichung größer oder gleich 2, das Produkt also größer oder gleich 6.

Comments

Geniale Lösung. Aber wer soll auf so etwas kommen?