Wie findet man den kleinsten unbekannten Grad eines Polynoms?

Question

Von einem Polynom f(x) unbekannten Grades ist folgende Wertetabelle bekannt:

x	1	2	3	4	5	6	7
f(x)	0	8	54	192	500	1080	2028

Dann kann man den Graphen des Polynoms angenähert durch einen Polygonzug darstellen:

Auch eine Folge von Steigungswerten des unbekannten Polynoms lässt sich angeben: [8, 46, 138, 308, 580, 978]. Die Stellen, an denen diese Steigungen angenommen werden, lassen sich abschätzen. Generell schätzen wir, dass die durchschnittliche Steigung einer Kurve über einem Intervall etwa in der Mitte des Intervalls von der Kurve selbst angenommen wird. Die ungefähre Wertetabelle der ersten Ableitung sieht dann so aus:

Wert der Stelle	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
Wert der Steigung an dieser Stelle	8	46	138	308	580	978

Der Graph der ersten Ableitung kann dann durch einen Polygonzug angenähert dargestellt werden:

Mit Hilfe der soeben genannten Wertetabelle der angenäherten ersten Ableitung kann eine Wertefolge der zweiten Ableitung abgeschätzt werden: [38, 92, 170, 272, 398]. Die Stellen, an denen die zweite Ableitung diese Werte annimmt, schätzen wir ebenfalls ab und erhalten eine grobe Annäherung an eine Wertetabelle der zweiten Ableitung:

Geschätzte Stellen der Werte von f ''	2	3	4	5	6
Werte der zweiten Ableitung	38	92	170	272	398

Auch zu dieser Wertetabelle zeichnen wir den Polygonzug, der den Graphen der zweiten Ableitung vermutlich gut annähert:

Die Wertefolgen aus den drei bisher genannten Wertetabellen sind
  [0, 8, 54, 192, 500, 1080, 2058]
d₁= [8, 46, 138, 308, 580, 978]
d₂=  [38, 92, 170, 272, 398].
Dabei sind d₁ und d₂ jeweils die Differenzenfolgen der vorausgegangenen Wertefolgen. Wir nennen sie die erste und die zweite Differenzenfolge der durch ihre ersten Glieder gegeben Ausgangsfolge. Wir erinnern uns, dass wir den Grad des zugehörigen Polynoms suchen. Wir bilden noch die dritte und die vierte Differenzenfolge:
d₃= [54, 78, 102, 126]
d₄= [24, 24, 24].
Damit kennen wir die ungefähren Wertetabellen der dritten und der vierten Ableitung:

Geschätzte Stellen der Werte der dritten Abl.	2,5	3,5	4,5	5,5
Werte der dritten Ableitung	54	78	102	126

und

Geschätzte Stellen der Werte der vierten Ableitung	3	4	5
Werte der vierten Ableitung	24	24	24

Die Graphen der dritten und der vierten Differenzenfolgen sind Geraden. Sie nähern die Graphen der dritten und der vierten Ableitung an. Es liegt nahe zu vermuten, dass der exakte Graph der dritten Ableitung parallel zu dem durch die Wertetabelle abgeschätzten verläuft. Der Graph der vierten Ableitung könnte sogar exakt sein.

Nehmen wir also an, dass die vierte Ableitung konstant ist und das gesuchte Polynom folglich den Grad 4 hat. Nun können wir in den Ansatz f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e fünf Punkte aus der gegebenen Wertetabelle einsetzen und erhalten fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten und daraus die Lösungen a=1, b=-1, c=0, d=0 und e=0. Wenn wir das so gewonnene Polynom f(x)=x⁴-x³ mit der eingangs gegebenen Wertetabelle vergleichen, stellen wir fest, dass wir das gesuchte Polynom gefunden haben. Nun lässt sich auch die Qualität unserer bisherigen Abschätzungen der Wertetabellen der ersten und der zweiten Ableitung überprüfen (Polygonzüge für die geschätzten Wertetabellen, durchgezogene Linie für die exakten Graphen, schwarz=erste Ableitung, rot=zweite Ableitung):

Die Abweichungen sind – vor allem bei der zweiten Ableitung – kaum sichtbar. Rechnerisch sind aber Abweichungen feststellbar, indem man Fragen dieser Art nachgeht: „An welcher Stelle ist die Steigung von f gleich 8?“ Ansatz: 4x³-3x²=8; reelle Lösung näherungsweise: x = 1.565775822. Der geschätzte Wert weicht davon um weniger als 7% ab. Bei weiteren geschätzten Werten ist die Abweichung noch geringer. Betrachtet man einen Bereich in der Nähe von (0|0) mit einer gezoomten Skalierung, so erkennt man:

Fazit: Die explizite Darstellung des allgemeinen Gliedes einer Folge, deren Anfangsglieder bekannt sind, gelingt erfolgreich insbesondere dann, wenn die Differenzenfolgen von Differenzenfolgen auf eine konstante Differenzenfolge stoßen. Ist die k-te Differenzenfolge konstant, so hat das durch eine Wertefolge gegebene Polynom den kleinsten Grad k.

Comments

Der Grad eines Polynomes lässt sich nicht bestimmen.

Angenommen, wir haben n Punkt und m Stellen an denen die Ableitung bekannt ist, dann haben wir (n+m ) lineare Gleichungen um die Parameter zu bestimmen.  Wir können also ein Polynom ( m+n ) ten Grades findet, bei dem alle Bedingungen erfüllt sind. Falls einige Gleichungen linear unabhängig sind, ist die Lösung eindeutig, falls es aber linear abhängige Gleichungen gibt, gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn wir noch einen oder mehrere Grade höher betrachten, kommen dazu noch unendlich viele Lösungen hinzu.

Fazit, es lässt sich wohl ein kleinster Grad des Polynomes bestimmen, bei dem die Abweichungen Null ergeben, doch lassen sich auch beliebig viele Grade höhere Polynome mit dieser Beziehung benennen.

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Die Ausgangsfrage war: Welcher Term des allgemeinen Gliedes gehört zu einer Folge mit gegebenen Gliedern. Hier gibt es ein Standardverfahren, dass in einigen Fällen zum Erfolg führt. Mein Aufsatz versucht, dieses Verfahren zu exemplarisch zu begründen.

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Trotzallem lässt sich der Grad einer Funktion aus m+n Angaben nicht bestimmen .

Ich kann für jeden Polynomgrad ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen. Wenn der Grad zu klein ist, kann es zu Abweichungen kommen, die auszugleichen sind.

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@Hogar: Beantworte bitte diese Frage: Wie lautet das allgemeine Glied einer Folge die mit 0.1; 1.2; 4.5; 11.2; 22.5; 39.6; 63.7, ... beginnt? Dann verstehst du, worum es mir geht.

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Wie gesagt, ist die Antwort darauf abhängig von welchem Polynomgrad ich ausgehe.

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Dann nenne bitte den kleinsten möglichen Polynomgrad des allgemeinen, expliziten Gliedes dieser Folge.

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Dann nenne bitte den kleinsten möglichen Polynomgrad des allgemeinen, expliziten Gliedes dieser Folge.

Warum sollte er das tun?

DU hast die Überschrift "Wie findet man den unbekannten Grad eines Polynoms?" gewählt.

DU hast geschrieben: "Ist die k-te Differenzenfolge konstant, so hat das durch eine Wertefolge gegebene Polynom den Grad k."

Jetzt willst du nachträglich die Spielregeln ändern und behaupten, es ginge von vorn herein um den kleinsten möglichen Grad?

Du hast bei der Formulierung deines Anliegens eine Kleinigkeit übersehen. Ich wollte auch gerade in der Richtung antworten, aber dann sah ich, dass Hogar schon die gleiche Unzulänglichkeit bemängelt hat. Belassen wir es dabei.

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Ja, ich hätte schreiben sollen, dass es um den kleinsten möglichen Grad geht.

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Ja, es ist eine Spielerei ohne Bedeutung für die Praxis. Wir wissen doch nur , dass deine geschätzt Stelle 5 für die vierte Ableitung zwischen 3 und 7 liegt.

Die Genauigkeit der Stelle einer n-ten Ableitung liegt bei ± n*0,5

Nun zu deiner Frage:

@Hogar: Beantworte bitte diese Frage: Wie lautet das allgemeine Glied einer Folge die mit 0.1; 1.2; 4.5; 11.2; 22.5; 39.6; 63.7, ... beginnt?

Wenn ich vom Grad Null ausgehe, komme ich zu

$$P_0(x) = 20,4$$

wenn ich jetzt Lust dazu hätte, könnte ich dir sagen, wie genau diese Angabe ist. Das war ein Polynom vom Grad Null. Beim Grad 1 wäre es die bekannte Regressionsgerade, doch dann verringert sich auch die Zuverlässigkeit der Fehlerangabe.

Nun könnte ich auch eine Funktion vom Grad 2  oder wie du denkst vom Grad 3 wählen .

$$P_3(x)=0,2x^3-0,1x^2$$

Beim Grad 3 würden wir dann den Fehler 0 bekommen und spätestens dann sollten in der Praxis die Alarmglocken angehen.

Doch wie komme ich zu Grad 3, ich stelle ein Gleichungssystem auf

A=$\begin{pmatrix} a_{11} & ...& a_{1n} \\ ...& a_{ij}&...\\a_{m1}&...&a_{mn} \end{pmatrix}$ mit

$$a_{ij}=i^j$$ die Werte schreibe ich in einen Spaltenvektor l

dann ist

$$Ax=l$$

nun forme ich das GL System um, in dem ich die i te Zeile von der i+1 ten Zeile abziehe . nun steht in der ersten Spalte eine 1 und darunter nur 0. wenn im Spaltenvektor in der zweiten Zeile und darunter auch nur Nullen stehen, bin ich fertig. Dann lasse ich die erste Zeile stehen un wiederhole das Verfahren mit den folgenden Zeilen. Das mache ich so lange, bis im Spaltenvektor nur Nullen folgen.

In der Diagonale der Matrix steht dann j!

In der Praxis gibt es aber kleine Abweichungen, und was machst du dann mit

0.1; 1.3; 4.6; 11.1; 22.4; 39.5; 63.8, ..

anstelle von

0.1; 1.2; 4.5; 11.2; 22.5; 39.6; 63.7, ..?

Du hast uns die Antwort aber schon gegeben. Sie kennzeichnet dein Vorgehen.

"Mein Aufsatz versucht, dieses Verfahren zu exemplarisch zu begründen."

Kommentiert  von Roland

Wenn ich die von mir gegebene Zahlenfolge hätte, würde ich mir überlegen, mit welchem Polynom ich sie annähern will

Dann dazu die Matrix A aufstellen.

$$Ax=l$$$$x= (A^TA)^{-1}A^Tl$$

Die Wahl des Grades des Polynoms ist also vom Zusammenhang abhängig. Durch die angegebene Methode, kann ich dann Parameter finden, so dass die Summe der Quadrate der Abweichungen, zu meinen Werten, ein Minimum wird.