Nun Frage ich mich wie man nun die Unterräume bestimmt weil sind diese nicht nur (0,0), (1,0), (0,1)?

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie alle Unterräume des Z5-Vektorraums Z₅² 

Problem/Ansatz:

Ich weiß das Z₅= (0,1,2,3,4) und das die hoch zwei bedeutet das eigentlich immer zwei Elemente in der Menge drin sind.

Nun Frage ich mich wie man nun die Unterräume bestimmt weil sind diese nicht nur (0,0), (1,0), (0,1)?

Answer 1

Z₅² Das sind die Paare mit Komponenten in Z₅ .

Der ganze Raum hat also 25 Elemente .

Und der triviale Unterraum hat nur das El.  (0;0).

1-dimensionale Unterräume sind z.B. die Vielfachen von (1;0) .

Da sind auch alle (x;0) mit drin.

und die von (1;1).und die von 1;2) und die von (1;3) und die von (1;4) .

Also schon mal 5 je 1-dimensionale.

Jetzt mal die Vielfachen von (2;1) . Das ist dann ein 6-ter.

Aber Vielfache von (2;2) gibt nix neues, da das schon ein Vielfaches von (1;1) ist

(2;3) ist schon bei den Vielf. von (1;4) drin , (2;4) bei denen von (1;2) .

Jetzt mal mit 1. Komponente 3 beginnen:

(3;1) ist schon bei (1;2) drin
((3;2)gibt was neues.  Also der 7. 1-dimensionale

(3;4) ist Vielf. von (1;3).

Mit 1. Komp. 4 probieren

(4;1) Vielf. von (1;4) 
(4;2) Vielf. von (1;3)
(4;3) Vielf. von (1;2)

also nix neues.

Und 2-dimensionale sind alle gleich dem ganzen Raum.

==> Es gibt es 9 Stück.

.

Comments

Vielen Dank für die Antwort