Konsequenzen Anordnung, Betrag

Question

Leiten sie die folgenden Aussagen aus den Körper- Anordnungsaxiomen ab. Hier ist K ein angeordneter Körper.

a) Für x,y ∈ K mit 0 < x < y gilt 0 < y^-1 <x^-1

b) Seien a ,b ∈ K und a < b sei λ ∈ K mit 0 < λ < 1. Dann gilt a< λa + ( 1-λ ) b <b. Jedes c mit a < c <b ist von dieser Form.

c) Für x,y ∈ K gilt die Dreiecksungleichung für den Absolutbetrag Ι x + y Ι ≤ I x I + I y I

Verstehe das nicht so genau. Hoffe mir kann jemand helfen

Answer 1

a) Sei \( 0 < x < y \). Wegen \( 0 < x \) gilt auch \( 0 < \frac{1}{x} \). Weiter gilt wegen \( x < y \) auch \( \frac{1}{x} < \frac{1}{y} \). Das lässt sich nun mithilfe der Transitivitätseigenschaft von Ungleichungen zusammenfügen.

b) Bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob du es einfach so machen darfst, oder du die einzelnen Schritte genauer beweisen musst.

Wir können \( \lambda a + (1 - \lambda) b \) nach unten abschätzen mit \( \lambda < 1 \). Es gilt dann \( a < 1 a + (1 - 1) b < \lambda a + (1 - \lambda) b \).

Analog geht dies, wenn wir \( \lambda a + (1 - \lambda) b \) nach oben mit \( 0 < \lambda \) abschätzen.

c) Zeige zuerst, dass \( x \leq |x| \) und \( -x \leq |x| \) Analog machst du das dann für \( y \).

Hast du dies gezeigt, kannst du die Additionsregel verwenden (\( x < y, v < w \implies x+v < y+w \)).

Lg