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ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe, da ich keinen Ansatz finde :(

Seien A1 ≥ A2 ≥ · · · ≥ Ak > 0 gegeben. Betrachten Sie die Folge

an=(A1n+A2n + ... + Akn)1/n.
Entscheiden Sie ob (an)n∈N konvergiert und berechnen Sie gegebensfalls ihren Grenzwert.


Vielen Dank im Voraus!


EDIT: Ich habe mittlerweile raus, dass an gegen A1 konvergiert. Allerdings weiß ich immer noch nicht, wie ich das nun beweisen kann.

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$$a_n=(A_1^n+A_2^n + ... + A_k^n)^{1/n}$$

kann geschrieben werden als

$$a_n=A_1\cdot(1+(\frac{A_2}{A_1})^n + ... + (\frac{A_k}{A_1})^n )^{1/n}$$

Avatar von 55 k 🚀

okay. und da die n-te wurzel dann gegen 1 konvergiert ist der grenzwert a1, richtig?

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Hallo,

ich würde das noch etwas konkreter abschätzen:

$$a_n \geq (A_1^n)^{1/n}=A_1$$

und

$$a_n \geq A_1(1+1^n+ \ldots + 1^n)^{1/n}=A_1k^{1/n} \to A_1$$

Gruß

Avatar von 14 k

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