Entscheiden sie ob an konvergiert

Question

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe, da ich keinen Ansatz finde :(

Seien A1 ≥ A2 ≥ · · · ≥ A_k > 0 gegeben. Betrachten Sie die Folge

a_n=(A₁ⁿ+A₂ⁿ + ... + A_kⁿ)^1/n.
Entscheiden Sie ob (a_n)_n∈N konvergiert und berechnen Sie gegebensfalls ihren Grenzwert.

Vielen Dank im Voraus!

EDIT: Ich habe mittlerweile raus, dass a_n gegen A1 konvergiert. Allerdings weiß ich immer noch nicht, wie ich das nun beweisen kann.

Answer 1

$$a_n=(A_1^n+A_2^n + ... + A_k^n)^{1/n}$$

kann geschrieben werden als

$$a_n=A_1\cdot(1+(\frac{A_2}{A_1})^n + ... + (\frac{A_k}{A_1})^n )^{1/n}$$

Comments

okay. und da die n-te wurzel dann gegen 1 konvergiert ist der grenzwert a1, richtig?

Answer 2

Hallo,

ich würde das noch etwas konkreter abschätzen:

$$a_n \geq (A_1^n)^{1/n}=A_1$$

und

$$a_n \geq A_1(1+1^n+ \ldots + 1^n)^{1/n}=A_1k^{1/n} \to A_1$$

Gruß