es ist schon ein wenig her, dass ich Äquivalenzrelationen gezeigt bzw. allgemein Relationen untersucht habe.
\( R = \{ ( (a,b),(c,d) ) \in \mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2 : (\exists k \in \mathbb{Z}): \ ak = c) \wedge (\exists k \in \mathbb{Z}: \ bk = d)\} \)
bedeutet, dass \( (a,b) \sim (c,d) \), wenn es ein Skalar aus den ganzen Zahlen gibt, sodass c ein Vielfaches von a und d ein Vielfaches von b ist. Betrachte \( (a,b) \) als einen Vektor im \( \mathbb{Z}^2 \) und \( (c,d) \) ebenfalls als einen Vektor im \( \mathbb{Z}^2 \).
Du zeigst dann, ob die folgenden Eigenschaften gelten:
- Reflexivität: \( (a,b) \sim (a,b) \),
- Symmetrie: \( (a,b) \sim (b,a) \),
- Transitivität: \( (a,b) \sim (c,d) \wedge (c,d) \sim (e,f) \implies (a,b) \sim (e,f) \).
Beachte aber eben, dass dein Skalar nur aus den ganzen Zahlen sein kann!
Lg