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Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Relation auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität:

$$ R= {{\{((a,b),(c,d))\in\mathbb{Z}^{2}\times\mathbb{Z}^{2}:(\exists k \in \mathbb{Z}: ak=c) \wedge }(\exists k \in \mathbb{Z}: bk=d)}\} $$



meine Frage zu der Aufgabe ist ob ich Reflexivität, Symmetrie und Transivität in Abhängigkeit von k angeben soll, oder wenn nicht, was ich mit dem k anfangen soll.

Bin hier etwas verloren, sowas haben wir nichtmal im Ansatz in der Vorlesung gemacht, jede Hilfe ist willkommen.

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Beste Antwort

es ist schon ein wenig her, dass ich Äquivalenzrelationen gezeigt bzw. allgemein Relationen untersucht habe.

\( R = \{ ( (a,b),(c,d) ) \in \mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2 : (\exists k \in \mathbb{Z}): \ ak = c) \wedge (\exists k \in \mathbb{Z}: \ bk = d)\} \)

bedeutet, dass \( (a,b) \sim (c,d) \), wenn es ein Skalar aus den ganzen Zahlen gibt, sodass c ein Vielfaches von a und d ein Vielfaches von b ist. Betrachte \( (a,b) \) als einen Vektor im \( \mathbb{Z}^2 \) und \( (c,d) \) ebenfalls als einen Vektor im \( \mathbb{Z}^2 \).

Du zeigst dann, ob die folgenden Eigenschaften gelten:

- Reflexivität: \( (a,b) \sim (a,b) \),

- Symmetrie: \( (a,b) \sim (b,a) \),

- Transitivität: \( (a,b) \sim (c,d) \wedge (c,d) \sim (e,f) \implies (a,b) \sim (e,f) \).

Beachte aber eben, dass dein Skalar nur aus den ganzen Zahlen sein kann!


Lg

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Das macht sehr viel Sinn :)

Klasse, vielen Dank!

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