Untersuchung einer Relation auf Reflexivität, Symmetrie und Transivität in Abhängikeit von k

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Relation auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität:

$$ R= {{\{((a,b),(c,d))\in\mathbb{Z}^{2}\times\mathbb{Z}^{2}:(\exists k \in \mathbb{Z}: ak=c) \wedge }(\exists k \in \mathbb{Z}: bk=d)}\} $$

meine Frage zu der Aufgabe ist ob ich Reflexivität, Symmetrie und Transivität in Abhängigkeit von k angeben soll, oder wenn nicht, was ich mit dem k anfangen soll.

Bin hier etwas verloren, sowas haben wir nichtmal im Ansatz in der Vorlesung gemacht, jede Hilfe ist willkommen.

Answer 1

es ist schon ein wenig her, dass ich Äquivalenzrelationen gezeigt bzw. allgemein Relationen untersucht habe.

\( R = \{ ( (a,b),(c,d) ) \in \mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2 : (\exists k \in \mathbb{Z}): \ ak = c) \wedge (\exists k \in \mathbb{Z}: \ bk = d)\} \)

bedeutet, dass \( (a,b) \sim (c,d) \), wenn es ein Skalar aus den ganzen Zahlen gibt, sodass c ein Vielfaches von a und d ein Vielfaches von b ist. Betrachte \( (a,b) \) als einen Vektor im \( \mathbb{Z}^2 \) und \( (c,d) \) ebenfalls als einen Vektor im \( \mathbb{Z}^2 \).

Du zeigst dann, ob die folgenden Eigenschaften gelten:

- Reflexivität: \( (a,b) \sim (a,b) \),

- Symmetrie: \( (a,b) \sim (b,a) \),

- Transitivität: \( (a,b) \sim (c,d) \wedge (c,d) \sim (e,f) \implies (a,b) \sim (e,f) \).

Beachte aber eben, dass dein Skalar nur aus den ganzen Zahlen sein kann!

Lg

Comments

Das macht sehr viel Sinn :)

Klasse, vielen Dank!