Aloha :)
Da du die richtige Lösung ja bereits kanntest, hat dir vermutlich die bisherige Antwort nicht wirklich weitergeholfen, denn WolframAlpha liefert keinen Rechenweg. Das möchte ich nachholen.
Wir sollen die Kosten \(C(K,L)\) unter einer Nebenbedingung \(g(K,L)\) optimieren:$$C(K,L)=5K+4L\quad;\quad g(K,L)=K\,L^3-760\stackrel!=0$$
Nach Lagrange müssen im Extremum die beiden Gradienten parallel oder anti-parallel zueinander stehen. Der Proportionalitäts-Faktor \(\lambda\) ist der sog. Langrange-Multiplikator.$$\operatorname{grad} C(K,L)=\lambda\,\operatorname{grad} g(K,L)\quad\Rightarrow\quad\binom{5}{4}=\lambda\binom{L^3}{3KL^2}$$Das liefert uns zwei Gleichungen:$$5=\lambda\,L^3\quad;\quad 4=\lambda\,3KL^2$$die wir dividieren können, um \(\lambda\) loszuwerden:$$\frac{5}{4}=\frac{\lambda\,L^3}{\lambda\,3KL^2}=\frac{L}{3K}\implies L=\frac{15}{4}K$$
Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:
$$0=g\left(K,\frac{15}{4}K\right)=K\left(\frac{15}{4}K\right)^3-760=\frac{15^3}{4^3}K^4-760$$$$\implies K=\sqrt[4]{760\cdot\frac{4^3}{15^3}}\approx1,948408\quad;\quad L=\frac{15}{4}K\approx7,306531$$
Die minimalen Produktionskosten sind daher:$$C_{\text{min}}=5K+4L=5K+4\cdot\frac{15}{4}K=20K=38,97$$
