Aloha :)
Wie ich sehe, hat man dir die Lagrange-Funktion einfach so vorgesetzt, ohne die Grundidee zu erklären. Wir sollen die Kostenfunktion \(C(k;\ell)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(F(k,\ell)\) optimieren. Dabei sind uns gegeben:$$C(k,\ell)=16k+10\ell\quad;\quad F(k,\ell)=k\ell^3\stackrel!=370$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingngen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, ist diese Forderung überschaubar:$$\operatorname{grad}C(k,\ell)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(k,\ell)\implies\binom{16}{10}=\lambda\binom{\ell^3}{3k\ell^2}$$Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung für die zweite Koordinate:$$\frac{16}{10}=\frac{\lambda\,\ell^3}{\lambda\,3k\ell^2}\implies\frac85=\frac{\ell}{3k}\implies24k=5\ell$$
Wir setzen diese Lagrange-Bedingung in die konstante Nebenbedingung ein:$$k\ell^3=370\implies24k\,\ell^3=24\cdot370\implies 5\ell^4=24\cdot370\implies\ell^4=1776\implies\ell=6,491734$$$$k\ell^3=370\implies k=\frac{370}{\ell^3}\implies k=1,35244$$
Die Kosten sind in diesem Fall:\(\quad C(1,35244|6,491734)=86,56\,\mathrm{GE}\)
