Wie hoch sind minimalen Kosten, wenn ein Output von 330 produziert werden soll? F(K,L)=K L^2 .

Question

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf F(K,L)=K L^2 .

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =19 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =29. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 330 ME produziert werden soll.
Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

a. 490.15
b. 368.87
c. 299.84
d. 328.94
e. 383.85

Answer 1

Lösung:

Es ist gar nicht so schwer. Man muss lediglich L und K berechnen und dann in die Funktion einsetzen.

 

1. Im Minimum muss folgendes gelten:

    -(19/29) = - (L²/2KL)

    Im rechten Term sind die Ableitungen von K und L.
    * F(K,L) = KL²
    * F'(K) = L²
    * F'(L) = 2KL

    Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob das so stimmt mit den Ableitungen bzw. mit den Variablen. ???
    Es muss aber eh nur gerechnet werden.

 

2. Wir formen so weit um, bis L auf einer Seite steht.

     1,310344828K = L

     Ich habe es bereits ausmultipliziert, d.h., man muss die zwei mit dem Bruch 19/29 multiplizieren. Das K auch.

 

3. Wir setzen das nun in die Produktionsfunktion ein:

    330 = K * (1,310344828K)²
    330 = K * 1,717002132K²
    330 = 1,717002132K³                  | Wir dividieren und ziehen die Wurzel aus 3

    K = 5,770955186                          | Wir setzen das in die Funktion in Punkt 2 ein.

    1,310344828 * 5,770955186 = 7,56194128 = L

 

4. Wir setzen die beiden Werte in die Hauptfunktion ein:

    19 * 5,770955186 + 29 * 7,56194128 = 328,9444457

 

Die minimalen Kosten sind in diesem Falle 328,94 GE hoch. Somit ist Antwort d richtig.


Viel Spaß beim Durchrechnen.

LG
Marco-Hannes Bachler
o. Student der Wirtschaftswissenschaften UIBK